高中数学 1.2 应用举例活页训练 新人教B版必修5VIP免费

1.2应用举例1.如右图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为()．A．50mB．50mC．25mD.m解析由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理＝，∴AB＝＝＝50(m)．答案A2．如图D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()．A．10mB．5mC．5(－1)mD．5(＋1)m解析在△ADC中，由正弦定理得AD＝＝10(＋1)，在Rt△ABD中，AB＝AD·sin30°＝5(＋1)．答案D3．在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是()．A．20mB．20(1＋)mC．10(＋)mD．20(＋)m解析如图，∠DAC＝45°，AD＝DC＝20m.在Rt△ABD中，BD＝20∴BC＝20(＋1)m故塔吊的高为20(＋1)m.答案B4．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是海里．解析在△ABC中，AB＝10，∠CAB＝60°，∠ABC＝75°，则∠C＝45°，由正弦定理得：＝，即BC＝＝5.答案55．在塔底的水平地面上某点测得塔顶的仰角θ，由此点向塔底沿直线走30m，测得塔顶的仰角为2θ；再向前走10m，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是________m.解析如图可知，△ABE和△BCE都是等腰三角形．∴BE＝30m，CE＝10m.在△BCE中，由余弦定理，cos2θ＝＝2θ＝30°∴DE＝BEsin30°＝15.答案156．如图所示，在高出地面30m的小山顶上建造一座电视塔CD，今在距离B点60m的地面上取一点A，若测得∠CAD＝45°，求此电视塔的高度．解设CD＝xm，∠BAC＝α，则△ABC中，tanα＝＝.又∠DAB＝45°＋α，tan∠DAB＝＝＝tan(45°＋α)．又tan(45°＋α)＝＝3.∴＝3，解得x＝150m．所以电视塔的高度为150m.7．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()．A．10mB．100mC．20mD．30m解析设炮塔顶A、底D，两船B、C，则∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝10，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝300.∴BC＝10.答案A8．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()．A.分钟B.小时C．21.5分钟D．2.15分钟解析设行驶xh后甲到点C，乙到点D，两船相距ykm，则∠DBC＝180°－60°＝120°.∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos120°＝28x2－20x＋100＝282－＋100∴当x＝小时＝分钟，y2有最小值．∴y最小．答案A9．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛离开公路的距离是km.解析如右图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1km.＝⇒BC＝·sin15°＝(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BC·sin75°＝·＝(km)．答案10.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB为.解析在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理，得＝.∴BC＝＝在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.答案11.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．解(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∠B＝45°.由正弦定理得：AD＝＝＝24(nmile)．(2)在△ADC中，由余弦定理得：CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°.解得：CD＝8(nmile)．即A处与D处的距离为24nmile，灯塔C与D处的距离为8nmile.12．(创新拓展)如图所示，A、B两个小岛相距21海里，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9海里的速度向B岛行驶，而乙船同时以6海里的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相...