数学湘教必修1第2章指数函数、对数函数和幂函数单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)1．化简的结果是()．A．B．C．3D．52．已知lg3＝a，lg5＝b，则log515＝()．A．B．C．D．3．若函数f(x)＝7＋ax－3(a＞0且a≠1)经过的定点是P，则P点的坐标是()．A．(3,3)B．(3,2)C．(3,8)D．(3,7)4．若函数是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为()．A．2B．－1C．2或－1D．45．函数f(x)＝ex＋x在下列哪个区间内有零点()．A．[－2，－1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2]6．函数的图象的大致形状是()．7．设函数若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是()．A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)8．设函数f(x)＝－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是()．A．(－1，－log32)B．(0，log32)C．(log32,1)D．(1，log34)二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝__________.10．若2n＝3，请用含n的代数式表示log36＋log38＝__________.11．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b＝__________.三、解答题(本大题共3小题，第12,13小题每小题10分，第14小题14分)12．求函数y＝4－x－2－x＋1，x∈[－3,2]的最大值和最小值．13．已知函数f(x)＝a－.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)＜f(2)的x的范围．14．一片森林面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到剩余面积为原来面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来面积的，求：(1)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(2)今后最多还能砍伐多少年？参考答案1.答案：B解析：，故选B．2.答案：B解析：，故选B．3.答案：C解析：不论a取何值，令x－3＝0，即x＝3时，f(3)＝7＋a0＝7＋1＝8，故图象必过定点(3,8)，选C．4.答案：A解析：由于f(x)是幂函数，∴m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或－1.当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；当m＝－1时，f(x)＝x0，在(0，＋∞)上不是减函数，舍去，故只取m＝2，选A．5.答案：B解析：由于f(－2)＝6.e－2－2＜0，f(－1)＝e－1－1＜0，f(0)＝1＋0＝1＞0，f(1)＝e＋1＞0，f(e)＝e2＋2＞0，所以仅有f(－1)·f(0)＜0.故在区间[－1,0]上f(x)存在零点，选B．6.答案：D解析：结合指数函数的图象可知D正确．7.答案：C解析：若a＞0，则－a＜0，f(a)＝log2a，f(－a)＝，由log2a＞得log2a＞－log2a，所以log2a＞0，a＞1；若a＜0，则－a＞0，于是，f(－a)＝log2(－a)，由＞log2(－a)得log2(－a)＜0,0＜－a＜1，∴－1＜a＜0.综上a的范围是(－1,0)∪(1，＋∞)，选C．8.答案：C解析：∵x∈(1,2)，∴∈(2,3)，∈(log32,1)，故要使函数f(x)在(1,2)内存在零点，只要a∈(log32,1)即可．故选C．9.答案：解析：设f(x)＝xα，依题意有，解得，即，于是.10.答案解析：由2n＝3得n＝log23，所以log36＋log38＝1＋log32＋3log32＝1＋4log32＝.11.答案：4解析：∵反函数的图象过点(2,8)，∴原函数的图象过点(8,2)．∴解得∴a＋b＝4.12.解：令2－x＝t，由x∈[－3,2]，得t∈，则y＝t2－t＋1＝.∴时，；t＝8时，.∴所求函数的最大值为57，最小值为.13.解：(1)f(0)＝a－＝a－1；(2)f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．证明如下：f(x＋h)－f(x)＝＝＝＝.∵h＞0，∴2h－1＞0.∴f(x＋h)＞f(x)，故f(x)在(－∞，＋∞)上为递增函数．(3)由于f(x)为奇函数，且定义域为R，∴f(0)＝0，故a－1＝0，得a＝1.∴f(ax)＜f(2)即f(x)＜f(2)．又∵f(x)在R上单调递增，∴x＜2.14.解：(1)设每年砍伐的百分比为x(0＜x＜1)，经过M年剩余面积为原来面积的.由a(1－x)10＝10lg(1－x)＝.又a(1－x)M＝Mlg(1－x)＝.∴M＝＝5.∴到今年为止，该森林已砍伐了5年．(2)设从今年开始，以后砍了N年，则N年后剩余面积为a(1－x)N.由题意，有a(1－x)N≥a，即(1－x)N≥，由(1)知(1－x)10＝1－x＝，∴，化为，∴，即N≤15.故今后最多还能砍伐15年．
