第一节不等式第3课时—三个正数的算术几何平均不等式一、选择题1．设a，b，c∈(0∞，＋)且a＋b＋c＝1，令x＝，则x的取值范围为()．A.B.C．[1,8)D．[8∞，＋)解析∵x＝＝··≥＝＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴x≥8.答案D2．已知x，y都为正数，且＋＝1，则xy有()．A．最小值16B．最大值16C．最小值D．最大值解析∵x，y∈(0∞，＋)且＋＝1，∴1≥＝＋2＝，∴≥4，∴xy≥16，当且仅当即时取等号，此时(xy)min＝16.答案A3．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列关系式总成立的是()．A．V≥πB．V≤πC．V≥πD．V≤π解析设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题意得：4r＋2h＝6，即2r＋h＝3，于是有V＝πr2h≤π·3＝π3＝π，当且仅当r＝h时取等号．答案B4．如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是()．A.3πB.3πC.3πD.3π解析l＝4r＋2h，即2r＋h＝，V＝πr2h≤3π＝3π.答案A二、填空题5．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为________．解析设两直角边长为a，b，斜边长为c，则c2＝a2＋b2，且a＋b＋＝＋1.∴＋1＝a＋b＋≥2＋＝(2＋)，≤即，当且仅当a＝b时取等号．∴三角形的面积S＝ab≤，即Smax＝.答案6．用长为16cm的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是________cm2.解析设矩形长为xcm(00,8－x>0，可得S≤2＝16，当且仅当x＝8－x即x＝4时，Smax＝16.所以矩形的最大面积是16cm2.答案167．函数y＝(x≠0)有最大值______，此时x＝______.解析∵x≠0，∴x2>0.∴y≤＝＝＝，当且仅当x2＝，即x4＝9，x2＝3，x＝±时取等号，即当x＝±时，ymax＝.答案±8．制造容积为m3的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为30元/m2，做侧面的金属板价格为20元/m2，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径r＝________，高h＝________.解析∵πr2h＝，∴rh＝.设用料成本为S，则S＝30πr2＋40πrh＝30πr2＋＝30πr2≥＋＋30π(元)，当30πr2＝，即r＝时，等号成立，此时h＝.答案mm三、解答题9．求函数y＝2x2＋(x＞0)的最小值．解由x＞0知2x2＞0，＞0，则y＝2x2＋＝2x2＋＋≥3＝3.当且仅当2x2＝，即x＝时，ymin＝3＝.10．某城建公司承包旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，每提前一天可获2千元奖金，但这要追加投入费用；若延期则每延期一天将被罚款5千元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使此公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)．解设该城建公司获得的附加效益为y千元，则由题意，得y＝2x－＝118－＝118－＝130－≤130－2＝130－112＝18，当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．∴提前11天完工，公司可获得最大附加效益．11．设a1，a2…，，an≥为正数，证明.证明因为a1，a2…，，an≥为正数，所以，要证成立，就是要证明(a1＋a2…＋＋an)≥n2.—由算术几何平均不等式，可得a1＋a2…＋＋an≥n…≥，＋＋＋n，两式相乘，即得(a1＋a2…＋＋an)·≥n2.所以，原不等式成立．
