抛物线的几何性质教学目标（1）灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；（2）会处理抛物线与直线、圆等曲线组合的综合问题；（3）会证明抛物线的简单几何性质．教学重点，难点抛物线的几何性质，以及抛物线与直线的位置关系．教学过程一．问题情境1．情境：复习回顾：抛物线的定义及几何性质．二．学生活动练习：①抛物线20(0)mxnymn的顶点坐标是(0,0)，焦点坐标是(,0)4mn，准线方程是4mxn，离心率是1，通径长||mn．②抛物线22yx上的两点A、B到焦点的距离之和为5，则线段AB的中点的横坐标是2．③顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线240xy所得的弦长为35，求抛物线的方程．(答案：24yx或236yx)解：设抛物线的方程为22(0)yaxa．由22,240,yaxxy消去y，得22(8)80(1)xax．则22(8)428160aaa,解得16a或0a．设方程(1)的两根为12,xx，则1282axx，124xx．由题知，弦长222121212()()12||xxyyxx用心爱心专心M1M221212165()45352aaxxxx，即216360aa，解得2a或18a．因此所求的抛物线方程为24yx或236yx．三．数学运用1．例题：例1．斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点F,且与抛物线相交于AB、两点求线段AB的长．解：法一如练习③法二设直线方程为1yx，1122(,)(,)AxyBxy、，则由抛物线定义得1212||||||||||22ppABAFFBACBDxxxxp，又1122(,)(,)AxyBxy、是抛物线与直线的交点，由24,1,yxyx得2610xx，则126xx，所以||8AB．焦点弦的长度12||ABpxx．（由学生找出其他三种情况的焦点弦的长度）练习:过抛物线28yx的焦点,作倾斜角为45的直线,则被抛物线截得的弦长为．例2．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切．证明：（法一）设抛物线方程为22ypx，则焦点(,0)2pF，准线2px．设以过焦点F的弦AB为直径的圆的圆心M，A、B、M在准线l上的射影分别是1A、1B、1M，则11||||||||||AABBAFBFAB，用心爱心专心又111||||2||AABBMM，∴11||||2MMAB，即1||MM为以AB为直径的圆的半径，且准线1lMM，∴命题成立．（法二）设抛物线方程为22ypx，则焦点(,0)2pF，准线2px．过点F的抛物线的弦的两个端点11(,)Axy，22(,)Bxy，线段AB的中点00(,)Mxy，则1212||22ppABxxxxp，∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径1211||()22rABxxp．点M到准线2px的距离120121()2222pxxpdxxxp，∴圆M与准线相切．例3．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线22(0)ypxp上，求这个正三角形的边长．解：设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且设点11(,)Axy，22(,)Bxy，则2112ypx，2222ypx，又||||OAOB，所以22221122xyxy，即221212()2()0xxpxx，1212()(2)0xxxxp．∵10x，20x，20p，∴12xx．用心爱心专心A由此可得12||||yy，即线段AB关于x轴对称．因为x轴垂直于AB，且30AOx，所以113tan303yx．∵2112yxp，∴123yp，∴1||243AByp．例4．定长为3的线段AB的两端点在抛物线2yx上移动，设点M为线段AB的中点，求点M到y轴的最小距离．解：抛物线焦点1(,0)4F，准线l：14x，设点A、B、M在准线l上的射影分别是1A、1B、1M，设点00(,)Mxy，则11||||||||||AABBAFBFAB，又11111||(||||)||22MMAABBAB，又101|4MMx，||3AB，∴01342x，所以054x，即0x的最小值是54．∴点M到y轴的最小距离是54，当且仅当AB过点F是取得最小距离．四．回顾小结：1．掌握抛物线的几何性质，灵活运用性质解题；2．综合处理抛物线的有关问题，特别是抛物线的弦的问题．用心爱心专心M1M
