1-7-2～3球的表面积和体积1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为()．A．8∶27B．2∶3C．4∶9D．2∶9解析设这两个球的半径分别是r，R，则＝，所以＝，则这两个球的表面积之比为＝2＝.答案C2．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是()．A．9πB．9C．3πD．3解析如图所示，设底面半径为r，高为h，则2πr＝6π，∴r＝3.∴h＝＝∴V＝π·r2·h＝3π.答案C3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．2π＋2B．4π＋2C．2π＋2D．4π＋解析由三视图可知，该空间几何体是一个组合体，其中，下半部分是底面半径为1，高为2的圆柱，上半部分是一个底面边长为，高为的正四棱锥．如图．所以，所求几何体的体积V＝π×12×2＋×()2×＝2π＋.故选C答案C4．球的内接正方体的表面积与球的表面积之比是________．解析设正方体棱长为a，则S正＝6a2，S球＝4π×2＝3a2π.答案2∶π5．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的体积是________．解析∵矩形的边长为6π和4π，∴分类讨论可知圆柱底面圆的半径为2或3，∴圆柱的体积为36π2或24π2.答案36π2或24π26．一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的体积．解由三视图知，三棱柱的高为2mm，由左视图知，正三棱柱的底面三角形的高为2mm.设底面边长为amm.则a＝2，∴a＝4mm.∴此正三棱柱的体积V＝Sh＝×4×2×2＝8(mm3)．7．如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于对棱的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为()．A．1∶2B．2∶3C．3∶4D．4∶5解析设棱台的高为h，上底面积为S，则下底面积为4S，∴V台＝h(S＋＋4S)＝Sh.答案C8．正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为()．A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．3∶2解析如图，设棱锥的高为h，VDGAC＝VGDAC＝S△ADC·h，VPGAC＝VPABC＝VGABC＝S△ABC·.又S△ADC∶S△ABC＝2∶1，故VDGAC∶VPGAC＝2∶1.答案C9．已知在多面体ABCDEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DE＝2，AC＝EF＝1，则这个多面体的体积为________．解析法一将所求多面体补成一个正方体，而所求多面体的体积是正方体体积的一半．VABCDEFG＝V正方体＝×2×2×2＝4.法二连结BD、BG，则VABCDEFG＝VBADGC＋VBEFGD＝SADGC·AB＋SEFGD·BE＝×(1＋2)×2××2＋×(1＋2)×2××2＝2＋2＝4.答案410．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的________倍．解析圆柱的体积公式为V圆柱＝πr2h，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42＝16倍．答案41611．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积．解正三棱锥SABC如右图所示，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AE⊥BC.∵△ABC是边长为6的正三角形，∴AE＝×6＝3，∴AH＝AE＝2.在△ABC中，S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，∴SH＝＝＝，∴V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9.12．(创新拓展)一个圆台的母线所在直线与轴线所在直线的夹角为30°，两底面半径的比为1∶2，其侧面展开图是半圆环，面积为54π，求这个圆台的体积以及截得这个圆台的圆锥的体积．解如图所示，ABCD是圆台的轴截面图，圆台的侧面展开图是半圆环，AD，BC为上、下底面圆的直径，∠DCB＝60°，根据题意可设r＝＝x，R＝＝2x，因为∠DCB＝60°，故圆台的高h＝x·tan60°＝x.母线l＝CD＝＝2x，又有－＝54π，而＝，OC＝2OD，又CO－OD＝2x，所以OD＝2x，OC＝4x.所以54π＝(OC＋OD)(OC－OD)．所以54π＝π(2x＋x)·2x，所以x＝3(负根舍去)．于是r＝3，R＝6，h＝3.把它们代入圆台的体积公式V＝(r2＋rR＋R2)，得V＝63π.设截得圆台的圆锥的高为h′，则h′＝R·tan60°＝6.把R＝6及h′＝6代入圆锥的体积公式得V＝＝72π.
