【创新设计】-学年高中数学1-8（二）函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像(二)活页训练北师大版必修4双基达标限时20分钟1．为了使函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值．则ω的最小值是()．A．98πB.πC.πD．100π解析由题意至少出现50次最大值．即至少需用49个周期，∴49·T＝·≤1，∴ω≥π故选B.答案B2．函数f(x)＝2sin，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为()．A.B.C.D.解析令－＝－＋2kπ，k∈Z，解得：x＝4kπ－，k∈Z.答案A3．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝()．A.B.C.D.解析依题意，周期T＝2＝2π，∴T＝，则ω＝＝1.因此f(x)＝sin(x＋φ)．又f＝sin＝±1，0＜φ＜π.所以φ＋＝，∴φ＝.答案A4．函数y＝sin与y轴最近的对称轴方程是________．解析令2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．由k＝0，得x＝；由k＝－1，得x＝－.答案x＝－5．已知函数f(x)＝2cos－5的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值是________．解析由题意，得T≤＝2，解得k≥4π，又因为k为正整数，故k的最小值为13.答案136．已知函数f(x)＝sin(x∈R)．(1)求f(x)的单调减区间；(2)经过怎样的图像变换使f(x)的图像关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)．解(1)由已知函数化为y＝－sin.欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间．由2kπ≤－2x≤－2kπ＋(k∈Z)，解得kπ≤－x≤kπ＋π(k∈Z)．∴原函数的单调减区间为(k∈Z)．(2)f(x)＝sin＝cos＝cos＝cos2.∵y＝cos2x是偶函数，图像关于y轴对称，∴只需把y＝f(x)的图像向右平移个单位即可．综合提高限时25分钟7．设函数f(x)＝2sin，若对于任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为()．A．4B．2C．1D.解析对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立．∴f(x1)＝f(x)min＝－2，f(x2)＝f(x)max＝2.∴|x1－x2|min＝＝×＝2.答案B8．如果函数y＝sin2x＋acos2x的图像关于直线x＝－对称，那么a等于()．A.B．－C．1D．－1解析法一∵函数y＝sin2x＋acos2x的图像关于x＝－对称，设f(x)＝sin2x＋acos2x，则f＝f(0)．∴sin＋acos＝sin0＋acos0.∴a＝－1.法二由题意得f＝f，令x＝，有f＝f(0)，即－1＝a.答案D9．关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；③y＝f(x)图像关于对称；④y＝f(x)图像关于x＝－对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．解析对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)．∴x＝π－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；对于②，f(x)＝4sin利用公式得：f(x)＝4cos＝4cos，∴②对；对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝π－(k∈Z)，∴是函数y＝f(x)的一个对称中心，∴③对；对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)，∴④错．答案②③10．(·江苏)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f(0)的值是________．解析由图可知：A＝，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，又函数图像经过点，所以2×＋φ＝π＋2kπ，令k＝0，得φ＝，故函数的解析式为f(x)＝sin，所以f(0)＝sin＝.答案11．已知函数f(x)＝asin(2x＋)＋1(a>0)的定义域为R≤，若当－x≤－时，f(x)的最大值为2.(1)求a的值；(2)试用五点法作出该函数在一个周期闭区间上的图像，并求出该图像对称中心的坐标和对称轴的方程．解(1)≤－x≤－⇒≤－2x≤－⇒≤－2x≤＋⇒－1≤sin≤⇒f(x)max＝a＋1，∴a＋1＝2，即a＝2.(2)2x＋0ππ2πx－πy131－11由2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)，∴对称中心为(k∈Z)．由2x＋＝kπ＋，得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．12．(创新拓展)已知下图表示电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|＜)在一个周期内的图像．(1)试根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－A，那么正数ω的最小值是多少？解(1)由图像知A＝300，T＝－＝(秒)．∴ω＝＝100π.∴I＝300sin(100πt＋φ)．则有100π·＋φ＝0，解得φ＝.∴I＝300sin(t≥0)．(2)欲使I在t的任意一段秒内能同时取到最大值A与最小值－A，必须且只需I的周期不大于，即T≤＝，解得ω≥200π.∴ω的最小值为200π.
