2.1.2平面直角坐标系中的基本公式1．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是()．A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案B2．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是()．A．－B．－C.D.解析|AB|＝＝，∴a＝时，|AB|最小．答案C3．若x轴的正半轴上的点M到原点与点(5，－3)到原点的距离相等．则点M的坐标为()．A．(－2,0)B．(1,0)C.D．(，0)解析设M(x,0)(x>0)，则由已知x2＝52＋32＝34，而x>0，∴x＝，∴M(，0)．答案D4．已知A(a,6)，B(－2，b)，点P(2,3)平分线段AB，则a＋b＝________.解析由中点公式2＝，＝3，∴a＝6，b＝0.答案65．与两点A(－2,2)，B(2,4)等距离，且在坐标轴上的点的坐标是______________．答案和(0,3)6．已知A(－7,0)，B(－3，－2)，C(1,6)．(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的外心的坐标．解(1)因为|AB|＝＝，|BC|＝＝，|AC|＝＝，所以|AB|2＋|BC|2＝|AC|2.所以△ABC是以∠B为直角的直角三角形．(2)因为△ABC为直角三角形，所以其外心为斜边AC的中点，其坐标为，即(－3,3)．7．已知点A(－1,3)，B(3,1)，点C在坐标轴上，∠ACB＝90°，则满足条件的点C的个数是()．A．1B．2C．3D．4解析若点C在x轴上，设C(x,0)，由∠ACB＝90°，得|AB|2＝|AC|2＋|BC|2∴(－1－3)2＋(3－1)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋12，解得x＝0或x＝2.若点C在y轴上，设C(0，y)，由|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，可得y＝0或y＝4.∴所得点C共有3个．答案C8．点A(2,0)，B(4,2)，若|AB|＝2|AC|，则C点坐标为()．A．(－1,1)B．(－1,1)或(5，－1)C．(－1,1)或(1,3)D．无数多个解析设(x，y)，则(2－4)2＋(0－2)2＝4(2－x)2＋4y2，即(x－2)2＋y2＝2，∴存在无数多个C点．答案D9．已知A(1,2)，B(－3，b)两点的距离等于4，则b＝________.解析由两点间距离公式＝4，得b＝6或b＝－2.答案6或－210．已知▱ABCD的三个顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则顶点D的坐标为________．解析先求出AC的中点坐标，然后再由中点坐标公式求D点坐标．答案(x1＋x3－x2，y1＋y3－y2)11．已知AO是△ABC中BC边的中线，证明：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．证明取BC边所在直线为x轴，边BC的中点为原点，建立直角坐标系，如图所示．设B(－a,0)，C(a,0)，A(m，n)(其中a>0)，则|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋a2＋n2)|AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．12．(创新拓展)已知矩形相邻两个顶点是A(－1,3)，B(－2，4)，若它的对角线交点在x轴上，求另外两顶点的坐标．解设对角线交点为P(x,0)，则|PA|＝|PB|，(x＋1)2＋(0－3)2＝(x＋2)2＋(0－4)2，解得x＝－5，∴对角线交点为P(－5,0)，∴xC＝2×(－5)－(－1)＝－9，yC＝2×0－3＝－3，即C(－9，－3)，xD＝2×(－5)－(－2)＝－8，yD＝2×0－4，∴D(－8，－4)．
