2.1.2数列的递推公式(选学)1．数列{an}满足an＋1＝an＋n，且a1＝1，则a5的值为()．A．9B．10C．11D．12解析a5＝a4＋4＝a3＋3＋4＝a2＋2＋3＋4＝a1＋1＋2＋3＋4＝11.答案C2．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是()．A.B.C.D.解析∵a1＝1，an＋1＝an＋，∴a2＝×a1＋＝1，a3＝a2＋＝，a4＝a3＋＝＋＝.答案B3．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则通项an可能是()．A．5－3nB．3·2n－1－1C．5－3n2D．5·2n－1－3解析由a1＝2，得a2＝2a1＋3＝7，代入验证得只有D适合．答案D4．已知数列{an}满足a1＝－，an＝1－(n>1)则a4＝.解析a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－.答案－5．已知数列{an}中，a1＝，an＝an－1－(n≥2)，则an＝.解析an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)…＋＋(a2－a1)＋a1…＝－－＋＋(－)＋＝－(n－1)＋＝1－.答案1－6．根据下面各个数列{an}的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N＋)；(2)a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)．解(1)a1＝0；a2＝a1＋1＝1；a3＝a2＋3＝4；a4＝a3＋5＝9；a5＝a4＋7＝16.由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42，可归纳出an＝(n－1)2.(2)a1＝1；a2＝＝；a3＝＝；a4＝＝；a5＝＝.由a1＝1＝，a2＝，a3＝＝，a4＝，a5＝＝.可归纳出an＝.7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an等于()．A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn解析由题意可知：an＋1＝an＋ln，即an＋1－an＝ln(n＋1)－lnn，于是an＝(an－an－)＋(an－1－an－2)…＋＋(a2－a1)＋a1＝lnn－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)…＋＋ln2－ln1＋2＝2＋lnn.答案A8．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2012的值为()．A.B.C.D.解析计算得a2＝，a3＝，a4＝，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又知2010除以3余2，所以a2012＝a2＝.答案B9．数列{an}中，a1＝1，an＋1an＝an2＋(－1)n＋1(n∈N*)，则＝.解析a2＝2，a3＝，a4＝，＝.答案10．已知数列的前n项和为Sn，满足log2(1＋Sn)＝n＋1，则数列的通项公式an＝________.解析∵log2(1＋Sn)＝n＋1∴1＋Sn＝2n＋1即Sn＝2n＋1－1当n＝1，a1＝S1＝22－1＝3当n≥2，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n＋1－2n＝2n∵an＝2n，对于n＝1，a1＝21＝2≠3∴通项公式为an＝答案11．在数列{an}中，a1＝1，a2＝，且＋＝(n≥3，n∈N*)，求a3，a4的值．解令n＝3，则＋＝，将a1＝1，a2＝代入，＝－＝3－1＝2，∴a3＝.令n＝4，则＋＝，将a2＝，a3＝代入，＝－＝4－＝，∴a4＝.12．(创新拓展)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0(n＝1,2,3…，)，求它的通项公式．解∵(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0，∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0.又∵an>0，∴an＋1＋an>0.∴(n＋1)an＋1－nan＝0，即＝.∴···…·＝×××…×.∴＝.又a1＝1，∴an＝.
