2-2-3(二)直线与圆、圆与圆的位置关系1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4和(x－3)2＋(y＋6)2＝64的位置关系是()．A．外切B．内切C．相交D．相离解析圆心距d＝r＋R，选A.答案A2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是()．A．x＋y＋3＝0B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0D．4x－3y＋7＝0解析两圆圆心所在直线即为所求，将两圆圆心代入验证可得C.答案C3．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为()．A．x＋y＝0B．x＋y＝2C．x－y＝2D．y＝x＋2解析圆与圆的对称问题实质上是圆心与圆心的对称问题，因为kC1C2＝－1，C2C1的中点为(－1,1)，所以C2C1的垂直平分线方程为y＝x＋2.答案D4．圆x2＋y2－x＋y＝0和圆x2＋y2＝5的公共弦长为________．解析由②－①得，两圆的公共弦所在直线方程为x－y－3＝0，∴圆x2＋y2＝5的圆心到该直线的距离为：d＝＝，设公共弦长为l，∴l＝2＝.答案5．已知圆x2＋y2－6x＋12y－19＝0和圆x2＋y2＋6x－4y－k＝0相切，则k＝________.解析已知两圆的圆心和半径分别为C1(3，－6)，r1＝8，C2(－3,2)，r2＝，则|C1C2|＝10.若外切，则r1＋r2＝10，即8＋＝10，解得k＝－9；若内切，则r2－r1＝|C1C2|，解得k＝311.答案－9或3116．已知圆C1：x2＋y2＝10与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0.(1)求证：圆C1与圆C2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程．(1)证明因为圆C1的半径为，圆心为(0,0)，圆C2的半径为4，圆心为(－1，－1)，所以|C1C2|＝＝，所以4－＜|C1C2|＜＋4，所以两圆相交．(2)解设两圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．A的坐标满足两圆的方程，即两式相减，得2x1＋2y1－4＝0，即x1＋y1－2＝0.同理x2＋y2－2＝0.故A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足x＋y－2＝0，所以过A、B的直线方程为x＋y－2＝0.7．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为()．A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36解析∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6，再由＝5可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.答案D8．已知两圆的半径分别为方程x2－7x＋12＝0的两个根，如果O1O2＝8，则两圆的位置关系是()．A．外离B．外切C．相交D．内切解析由方程x2－7x＋12＝0，得两个根分别为3或4，故两圆半径之和为7，而两圆心之间的距离为8，根据两圆的位置关系，知这两圆外离．答案A9．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.解析本小题主要考查两圆的位置关系，求解时注意公共弦平行于x轴．两圆方程相减得公共弦方程y＝，代入x2＋y2＝4，得两圆交点横坐标x＝±，∴＝，∴a＝1(a＞0)．答案110．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r＞0.若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________．解析集合A、B分别表示两个圆上的点的集合，若A∩B中有且只有一个元素，则两圆相切．相外切时，r＝3；相内切时，r＝7.答案3或711．已知两圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－2)2＋(y－2)2＝5，求经过点P(0,1)且被两圆截得弦长相等的直线方程．解显然P(0,1)、A(1,0)、Q(0，－1)都在圆C1：x2＋y2＝1①上，易知P(0,1)，A(1,0)，B(0,3)都在圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝5②上，直线x＝0截圆C1，有|PQ|＝2；截圆C2：|PB|＝2，∴x＝0为所求直线方程．①－②得：x＋y－1＝0，此即为两圆的公共弦所在的直线方程，它显然满足条件，由平面几何知识知除x＝0，x＋y－1＝0外不存在其他满足条件的直线．故所求直线方程为x＝0或x＋y－1＝0.12．(创新拓展)在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，|OA|＝8，|OB|＝6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A、B、O的距离的平方和的最大值和最小值．解如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，则A(8,0)，B(0,6)，内切圆C的半径r＝＝2.∴圆心坐标为(2,2)．∴内切圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.设P(x，y)为圆C上任一点，点P到顶点A、B、O的距离的平方和为d，则d＝|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－16x－12y＋100＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76.∵点P(x，y)在圆上，∴(x－2)2＋(y－2)2＝4.∴d＝3×4－4x＋76＝88－4x.∵点P(x，y)是圆C上的任意点，∴x∈[0,4]．∴当x＝0时，dmax＝88；当x＝4时，dmin＝72.
