6.5最简三角方程（1）【教学目标】2．会解简单的三角方程（形如，，等）．[说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为、的齐次式；（4）引入辅助角．有！因为诱导公式，所以也满足条件．用心爱心专心1为了方便，可以选择正弦函数,长度为一个周期的区间内,研究的解．如图所示：在平面上作直线交正弦函数在该区间内于两点，则的横坐标就是，即方程的解是.考虑到函数的周期为，所以的通解是．也可以利用单位圆进行研究．如图所示：在平面上作直线交单位圆于两点，则就是角的终边，也是角的终边，可得到的通解：．2．思考既然的解集是，那么能否将的解集写成的形式？用心爱心专心23．讨论的解集:当时，直线与单位圆无交点，因而方程无解；当时，直线与单位圆有一个交点，所以的解集是；同样,当时，直线与单位圆也有一个交点，的解集是；而当时，直线与单位圆有两个交点，的解集是,即．二、学习新课1．概念辨析（1）三角方程的定义：我们把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程，把满足三角方程的所有的集合叫做三角方程的解集．（2）最简三角方程的定义：形如的方程叫做最简三角方程．（3）最简三角方程的解集：即已知三角函数值求角，先求出它在一个周期的区间上的解（特解），再根据三角函数的周期性，求出方程的所有解（通解）．最简三角方程的解集，见下表：方程方程的解集2．例题分析用心爱心专心3例1、求下列方程的解集.（1）；（2）；（3）.解（1）将原方程化为，可得原方程的解集为：（2）将原方程化为，可得原方程的解集为：=（3）将原方程化为，可得原方程的解集为例2、根据下列条件，求方程的解.（1）为锐角；（2）为某三角形内角；（3）为第二象限角；（4）解：（1）由题设得；（2），或；（3）；（4）．例3、求方程的解集．解将原方程化为，可得，由，得；由，得．所以原方程的解集为．例4、解方程．解：将原方程化为：，可得，即．用心爱心专心4当时，；当时，；当时，．当取其他取值所得的都不合题意，所以原方程的解集为．[说明]求某一区间内方程解的问题，一般应先求出这个方程解的一般表达式，然后根据题设，确定整数的取值，得到所求方程在特定区间内的解，否则有可能将符合条件的解遗漏．本题中若将原方程化为：，根据所求解是锐角，把解直写成，解得，就少了两个解．另外本题应使用角度制.例5、解方程．解一两边平方，整理得，∴经检验，为增根．原方程的解集为．[说明]产生增根的原因是“两边平方”．事实上，所增的根正好是方程的根．解二移项得：，两边同除以，得，即，解得，∴．[说明]这里出现失根，正好是除式的根．解三引入辅助角，化为解得：，∴．原方程的解集为．[说明]解方程的核心是方程的同解性问题，形成检验的习惯和能力至关重要．3．问题拓展例6、关于x的方程有实数解,求的取值范围．解由原方程得，即．要使方程有解，只需．解得．用心爱心专心5所以的取值范围为．[说明]当方程有解时，必须满足．三、巩固练习1、（口答）求下列方程的解集.（1）；（2）；（3）．2、求下列方程的解集.（1）sin2x＝；（2）．3、根据下列条件，求下列方程的解集.（1），；（2），．4、求方程内的所有实根之和．5、若x=是方程2cos（x+α）=1的解，其中α∈（0，2π），求α的值.四、课堂小结本节课的内容是解三角方程，在理解三角方程的基础上，准确、熟练地写出最简三角方程的解集．这是学好三角方程的关键和基础．解三角方程往往最终归结为解最简单的三角方程，确定最简三角方程在指定范围内的解是本节课的难点．五、练习册用心爱心专心6
