椭圆的简单几何性质3椭圆的定义不仅是推导方程的基础，而且是证题的一把金钥匙.待证题目中有焦点的条件，常从定义出发，寻求证题方法，为证题创造条件，兹举例如下：例1已知P（x0,y0）是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r）连结OA，由三角形中位线定理，知|OA|=故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证.例2设P是椭圆（a＞b＞0）上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2=90°，求证：椭圆的率心率e≥证明∵P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a①在Rt△F1PF2中,由①2，得∴|PF1|·|PF2|=2(a2－c2)②由①和②，据韦达定理逆定理，知|PF1|·|PF2|是方程z2－3az+2(a2－c2)=0的两根，则△=4a2－8(a2－c2)≥0,∴()2≥，即e≥.例3P为椭圆（a＞b＞0）上的点，F1、F2是椭圆的焦点，e为离心率.若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求证：证明由椭圆定义，知|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∵由正弦定理，得|PF1|=2Rsinβ,|PF2|=2Rsinα，|F1F2|=2Rsin(α+β)用心爱心专心例4P是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，半短轴为b,且∠F1PF2=α.求证：△PF1F2的面积为证明由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a，又|F1F2|=2c.在△PF1F2中，由余弦定理，得用心爱心专心
