四川省射洪县射洪中学高二数学《2.3.1双曲线的标准方程》教学过程二教学过程（1）预习与引入过程预习教科书56页至60页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P56页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗§2．2．1双曲线及其标准方程．（2）新课讲授过程（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．〖板书〗把平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值等于常数（小于12FF）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M时，双曲线即为点集P122MMFMFa．（ii）双曲线标准方程的推导过程提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、,,abc的关系有明显的几何意义．类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程222210,0yxabba．（iii）例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为15,0F，25,0F，双曲线上一点P到1F，2F距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,abc．补充：求下列动圆的圆心M的轨迹方程：①与⊙C：2222xy内切，且过点2,0A；②与⊙1C：2211xy和⊙2C：2214xy都外切；③与⊙1C：2239xy外切，且与⊙2C：2231xy内切．用心爱心专心1解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆M的半径为r．① ⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，∴2MCr，MAr，因此有2MAMC，∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，即M的轨迹方程是2222127yxx；② ⊙M与⊙1C、⊙2C均外切，∴11MCr，22MCr，因此有211MCMC，∴点M的轨迹是以2C、1C为焦点的双曲线的上支，∴M的轨迹方程是22434134xyy；③ M与1C外切，且M与2C内切，∴13MCr，21MCr，因此124MCMC，∴点M的轨迹是以1C、2C为焦点的双曲线的右支，∴M的轨迹方程是221245xyx．例2已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340/ms，求炮弹爆炸点的轨迹方程．分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A，B两地听到爆炸声的时间差，即可知A，B两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s．已知各观察点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340/ms；相关点均在同一平面内）．解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴方向，建立直角坐标系，设A、B、C分别是西、东、北观察点，则1020,0A，1020,0B，0,1020C．...
