1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标：知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题奎屯王新敞新疆教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题奎屯王新敞新疆授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：2课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1），（2）.2．二项展开式的通项公式：奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性奎屯王新敞新疆二、讲解新课：1奎屯王新敞新疆二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和奎屯王新敞新疆2．二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（ ）．直线是图象的对称轴．用心爱心专心115号编辑（2）增减性与最大值． ，∴相对于的增减情况由决定，，当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．（3）各二项式系数和： ，令，则奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和奎屯王新敞新疆证明：在展开式中，令，则，即，∴，即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知.例2．已知，求：（1）；（2）；（3）.解：（1）当时，，展开式右边为∴，当时，，∴，（2）令，①用心爱心专心115号编辑令，②①②得：，∴.（3）由展开式知：均为负，均为正，∴由（2）中①+②得：，∴，∴奎屯王新敞新疆例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数奎屯王新敞新疆解：=，∴原式中实为这分子中的，则所求系数为奎屯王新敞新疆例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数奎屯王新敞新疆解： ∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为∴展开式中含x的项为，∴此展开式中x的系数为240奎屯王新敞新疆例5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项奎屯王新敞新疆解：依题意∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10奎屯王新敞新疆设第r+1项为常数项，又令，用心爱心专心115号编辑此所求常数项为180奎屯王新敞新疆例6．设，当时，求的值奎屯王新敞新疆解：令得：，∴，点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系奎屯王新敞新疆例7．求证：．证（法一）倒序相加：设①又 ② ，∴，由①+②得：，∴，即．（法二）：左边各组合数的通项为，∴．例8．在的展开式中,求:①二项式系数的和;②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;④奇数项系数和与偶数项系数和;⑤的奇次项系数和与的偶次项系数和.用心爱心专心115号编辑分析:因为二项式系数特指组合数,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式中的系数无关.解：设(*),各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为.②令,各项系数和为.③奇数项的二项式系数和为,偶数项的二项式系数和为.④设,令,得到…(1),令,(或,)得…(2)(1)+(2)得,∴奇数项的系数和为;(1)-(2)得,∴偶数项的系数和为.⑤的奇次项系数和为;的偶次项系数和为.点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项用心爱心专心115号编辑系数和”严格地区别开来...
