第12课时几个著名的不等式之一：柯西不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式
这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具
1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立
证明：几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，而，，所以柯西不等式的几何意义就是：，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立
3、定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么
4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）
证明：构造二次函数：即构造了一个二次函数：由于对任意实数，恒成立，则其，即：，即：，等号当且仅当，即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）
如果（）全为0，结论显然成立
柯西不等式有两个很好的变式：变式1设，等号成立当且仅当变式2设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则：，等号成立当且仅当
二、典型例题：例1、已知，，求证：
例2、设，求证：
例3、设为平面上的向量，则
例4、已知均为正数，且，求证：
方法1：方法2：（应用柯西不等式）例5：已知，，…，为实数，求证：
分析：推论：在个实数，，…，的和为定值为S时，它们的平方和不小于，当且仅当时，平方和取最小值
三、小结：四、练习：1、设x1，x2，…，xn>0,则2、设（i=1，2，…，n）且求证:．3、设
