排列与组合[基础知识][学习指导]1.如何理解加法原理和乘法原理？加法原理和乘法原理是排列、组合问题的基础和核心，这两个原理的区别是一个与分类有关，一个与分步有关.加法原理指这些方法可以分类，即任何一类办法中任何一个方法，都能完成这件事.乘法原理是指这些方法需要分步，各个步骤顺次相接，即每一个步骤任取一种分法连续做完这n步，才能完成这件事.区分应用这两个原理的关键，是分清完成这件事的方法可以“分类”，还是需要“分步”.2.排列与组合的区别和联系是什么？排列与组合都要“从n个不同的元素中，任取m个元素”，区别是排列要“按照一定的顺序排成一列”，“一定顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，而组合却是不管怎样的顺序“并成一组”.即排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，区分它们必须抓住“顺序”这个关键.3.如何解好排列与组合的应用题？解排列与组合的应用题，首先要分清所给问题是否与“顺序”有关，以确定这个问题是排列问题，还是组合问题，或者是排列与组合的综合题.解应用题，一般有“直接”与“间接”两种思路.在分析中，优先安排特殊元素、特殊位置，或排除不合条件的情况.对于某些元素相邻的问题，常用“捆绑法”；对于某些元素不能相邻的问题，常用“插入法”.求应用题中的排列数或组合数时，注意防止重复或遗漏，一般可考虑用一种思路计算结果，用另一种思路验证.[例题精析]例1.七个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？[分析]由于每个盒子至少放一个球，所以只需考虑另外三个球放入四个不同的盒子里多少种不同的放法就可以了.1[解]（种）[解题后的点拨]此题的放法是分成三类，第一类是把三个球放在同一个盒子里；第二类是把两个球放入一个盒子里，把另一个球放入其它一个盒子里，把两个球放入第一个盒子或放入第二个盒子里显然是不同的放法.这是个排列问题；第三类是把三个球分别放入三个不同的盒子里，这是个组合问题，最后依据加法原理.解决此类问题，要首先分清是可以分类，还是可以分步，其次具体判断每一类或一步是排列问题，还是组合问题.[分析]这是个排列问题，数字0，1，2，3，4，5是元素，要组成的数是四位偶数，每个数位（个、十、百、千位）所对应的是位置，我们应先考虑特殊的元素和特殊的位置，个位上只能排0，2，4，另外，0不能排在首位.[解]当个位数字是0时，前三位的排法有（种）.当个位数字是2，4时，个位的排法有种，又0不能排在首位，故首位的排法有种，中间的两位的排法有P，由乘法原理，此时四位数的个数有（个）.∴四位偶数的个数共有（个）.[解题后的点拨]前面我们是把符合条件的四位偶数的个数直接求出来，这是直接法.有时也可以这样想：先考虑个位上只能排0，2，4这个条件，个位的排法有种，前三位的排法有种，有乘法原理，这样得到的形式上的四位数有.但这里有0排在首位的情况：.所以符合条件的四位偶数的个数为.这种方法是间接法.例2.七位同学站成一排(1)甲不站在左端，乙不站在右端，有多少种不同的排法？(2)甲、乙两位同学必须相邻，有多少种排法？(3)甲、乙、丙三位同学都不能相邻，有多少种排法？[分析]（1）甲、乙是特殊的元素，左、右两端是特殊的位置，先安排甲、乙，甲可有两类站法.即右端、中间，在甲站中间的站法中，乙除右端外可有五个位置.（2）甲、乙必须相邻，可以把甲、乙看作一个元素.再加上其它五个元素，共六个元素全排列，注意甲、乙还有一个排列问题.（3）甲、乙、丙都不能相邻，可由其它四个元素先作全排列，这时有5个空档，从中选出3个甲、乙、丙作全排列.[解]（1）（2）（3）[解题后的点拨]（1）采用的是直接法，也可以用间接法，即：（2）采用的是捆绑法.（3）采用的是插入法.2[巩固提高](一)选择题：1.集合A={1，2，3}，B={4，5，6，7}从集合A到集合B的元素之间可以建立不同映射的个数是（）（A）（B）（C）（D）2.6个学生站成一排，甲、乙不能站在一起，不同排法有（）（A）（B）（C）（D）3.计算得（）（A）10（B）465（C）466（D）无法确定4.以正方体的顶点为顶点，作成三棱锥的个数是（）（A）（B）（C）（D）5.某公...
