一道很难发现错误的立体几何试题VIP专享VIP免费

一道很难发现错误的立体几何试题湖北省恩施州巴东县第二高级中学向定军内容提要：正四棱锥的截面周长的表面展开法，在考虑多点共面的情况下不能简单地把三棱锥的问题推广到四棱锥上.关键词：正四棱锥截面周长表面展开法四点共面正文引例题1：在三棱锥V-ABC中，底面为等边三角形且VA=VB=VC=1，角AVB为40度，过A作一截面与VB，VC交于E，F.则三角形AEF周长最小值是多少？基本解题思路：将三棱锥沿着VB和VC展开，铺成平面，那么A和A间的直线距离是最短的，其中A是铺开后A的位置（在锥体中两者重合）.易得三角形AEF周长最小值=AA′=3FECBAVFEA'CBAV以上解题方法体现了解决立体几何问题的基本思想，把立体问题转化为平面问题，运用表面展开法求解，其中默认了：A,E,F三点共面，这符合事实。然而，在此基础上推广得到下面广为流传的例题，就值得讨论了：例题：侧棱长为43的正四棱锥V—ABCD中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVD＝∠DVA＝30°，过A作截面AEFG与侧棱分别交于E、F、G点，则截面四边形AEFG周长的最小值为.分析：类似上例运用表面展开法，将正四棱锥的侧面沿VA剪开并铺平在一个平面上(如下图)，容易求解，其结果是12.但是A,E1，F1,G1,A在一条直线上，对应点A,E,F,G,A并不一定在一个平面内，这尚需要证明.证明:将正四棱锥的侧面沿VA剪开并铺平在一个平面上,(如下图)则截面周长的最短值即为线段AA1,且E1,F1,G1三点分别对应E,F,G三点.假设A,E,F,G四点共面.不妨设VA=1,).4,0(,xxAVB.2cos,111xVFVFAA易知.2xsin2AB.VCAF,AEFGVC,FGVC,EFVC面又,2sin221,xACAOOABCDVO则于平面作则.xcos2xsin21AOVAVO222在ΔAVC中,∵VO?AC=VC?AF,xcos2xsin81AFAVVF,2xsin22xcosAF222xxxVFVF2coscos2sin8121，即比较两图，由.215arccosx.215xcos即解得时当且仅当不一定共面故四点215arccosAVB,G,F,E,A四点A,E,F,G才能共面.VGFEDCBA上述证明说明了，只有在∠AVB＝∠BVC＝∠CVD＝∠DVA215arccos时，四点才能共面，所以本题解法是错误的，此解法适合将此题改为：侧棱长为43的正四棱锥V—ABCD中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVD＝∠DVA＝30°，一只蜜蜂从A点出发，沿四个侧面返回A点，走过的最短距离是.参考文献：[1]丁忠凤.三棱锥的表面展开法.《数学通讯》2001年第10期O