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一道解析几何高考试题的简解及推广VIP免费

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1/8一道解析几何高考试题的简解及推广2018年全国高考数学I卷理科第19题为:设椭圆22:12xCy的右焦点为F,过F的直线l与C交于,AB两点,点M的坐标为2,0.(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:OMAOMB.一解法探究(1)由已经得,将代入椭圆方程,得,即,所以直线的斜率为,因此其方程为或.222yx矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧。探究第2问:分析1:∠OMA=∠OMB等价于直线和的斜率互为相反数,即.证法1:∠OMA=∠OMB等价于.,2/8因为,所以,因此∠OMA=∠OMB.分析2:∠OMA=∠OMB等价于点到直线和的距离相等.证法2:直线为,即,故到直线的距离为,同理,到直线的距离等于.聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅。∠OMA=∠OMB⋯⋯①⋯⋯②当时,②式显然成立;当时,②式等价于这显然是成立的,因此∠OMA=∠OMB.分析3:从向量的角度,利用夹角公式来证明.证法3:3/8⋯⋯③这就是①式,下同证法2.分析4:利用角平分线定理,这就是③式,下同证法3.分析5:由于,.证法5:MAMBMAMB下面证明,等价于证明4/8这就是①式,由证法1知,.又因为,,所以,成立,因此.证法1到证法5,用解析几何的方法,从不同的视角来证明了.其核心思想就是分析几何关系,然后把几何关系转化为代数关系,利用解析几何证明.解法6:发现点M为准线与x轴的交点,由于涉及到椭圆的焦点和准线,故考虑椭圆的第二定义,利用平面几何知识来证.由椭圆的第二定义,残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東。,即,又,所以,故,所以,所以,因此.类似的2018年全国高考数学I卷文科第20题为:设抛物线22Cyx:,点20A,,20B,,过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;5/8(2)证明:ABMABN∠∠.也有上述解法.不仅有多种解法,还可以将结论推广定理1设抛物线22Cypx:,点20Ap,,20Bp,,过点A的直线l与C交于M,N两点.则直线BN与BM与x轴成等角;证明:显然,直线l不与x轴重合,设直线l的方程为2xtyp,联立抛物线方程得22240yptyp,设11(,)Mxy22(,)Nxy,则122yypt,2124yyp,设直线BM和直线BN的斜率分别为,BMBNkk则BMBNkk1212122112122()22(2)(2)yypyyyxyxxpxpxpxp而112xtyp,222xtyp,代入上式得BMBNkk1212124()2(2)(2)pyytyyxpxp将122yypt,2124yyp代入上式得0BMBNkk,故ABMABN∠∠;发现,AB两点的横坐标之和为零,可以得出以下一般结论:定理2设抛物线22Cypx:,点0Am,,0Bm,(0)m,过点A的直线l与C交于M,N两点.则直线BN与BM与x轴成等角;证明:显然,直线l不与x轴重合,设直线l的方程为xtym,联立抛物线方程得2220yptypm,设11(,)Mxy22(,)Nxy,则122yypt,122yypm,设直线BM和直线BN的斜率分别为,BMBNkk则BMBNkk121212211212()()()yymyyyxyxxmxmxmxm而11xtym,22xtym,代入上式得BMBNkk1212122()2()()myytyyxmxm

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