一道解析几何高考试题的简解及推广VIP专享VIP免费

1/8一道解析几何高考试题的简解及推广2018年全国高考数学I卷理科第19题为:设椭圆22:12xCy的右焦点为F，过F的直线l与C交于,AB两点，点M的坐标为2,0.（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB.一解法探究（1）由已经得，将代入椭圆方程，得，即，所以直线的斜率为，因此其方程为或.222yx矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧。探究第2问:分析1：∠OMA=∠OMB等价于直线和的斜率互为相反数，即.证法1：∠OMA=∠OMB等价于.，2/8因为，所以，因此∠OMA=∠OMB.分析2：∠OMA=∠OMB等价于点到直线和的距离相等.证法2：直线为，即，故到直线的距离为，同理，到直线的距离等于.聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅。∠OMA=∠OMB⋯⋯①⋯⋯②当时，②式显然成立；当时，②式等价于这显然是成立的，因此∠OMA=∠OMB.分析3：从向量的角度，利用夹角公式来证明.证法3：3/8⋯⋯③这就是①式，下同证法2.分析4：利用角平分线定理，这就是③式，下同证法3.分析5：由于，.证法5：MAMBMAMB下面证明，等价于证明4/8这就是①式，由证法1知，.又因为，，所以，成立，因此.证法1到证法5，用解析几何的方法，从不同的视角来证明了.其核心思想就是分析几何关系，然后把几何关系转化为代数关系，利用解析几何证明.解法6:发现点M为准线与x轴的交点,由于涉及到椭圆的焦点和准线，故考虑椭圆的第二定义，利用平面几何知识来证.由椭圆的第二定义，残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東。，即，又，所以，故，所以，所以，因此.类似的2018年全国高考数学I卷文科第20题为:设抛物线22Cyx：，点20A，，20B，，过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；5/8（2）证明：ABMABN∠∠．也有上述解法.不仅有多种解法，还可以将结论推广定理1设抛物线22Cypx：，点20Ap，，20Bp，，过点A的直线l与C交于M，N两点．则直线BN与BM与x轴成等角；证明：显然，直线l不与x轴重合，设直线l的方程为2xtyp，联立抛物线方程得22240yptyp，设11(,)Mxy22(,)Nxy，则122yypt，2124yyp，设直线BM和直线BN的斜率分别为,BMBNkk则BMBNkk1212122112122()22(2)(2)yypyyyxyxxpxpxpxp而112xtyp，222xtyp，代入上式得BMBNkk1212124()2(2)(2)pyytyyxpxp将122yypt，2124yyp代入上式得0BMBNkk，故ABMABN∠∠；发现,AB两点的横坐标之和为零，可以得出以下一般结论：定理2设抛物线22Cypx：，点0Am，，0Bm，(0)m，过点A的直线l与C交于M，N两点．则直线BN与BM与x轴成等角；证明：显然，直线l不与x轴重合，设直线l的方程为xtym，联立抛物线方程得2220yptypm，设11(,)Mxy22(,)Nxy，则122yypt，122yypm，设直线BM和直线BN的斜率分别为,BMBNkk则BMBNkk121212211212()()()yymyyyxyxxmxmxmxm而11xtym，22xtym，代入上式得BMBNkk1212122()2()()myytyyxmxm