PAO0BO将军饮马问题——线段和最短一．六大模型1•如图，直线1和1的异侧两点A、B，在直线1上求作一点P，使PA+PB最小。2•如图，直线1和1的同侧两点A、B，在直线1上求作一点P，使PA+PB最小。3■如图，点P是ZMON内的一点，分别在0M,ON上作点A,B。使2AB的周长最小。4•如图，点P，Q为ZMON内的两点，分别在0M,ON上作点A,B。使四边形PAQB的周长最小。5■如图，点A是ZMON外的一点，在射线0M上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小。6.如图，点A是zMON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。二、常见题目Parti、三角形1•如图，在等边"BC中,AB=6,AD丄BC,E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=2，求EM+EC的最小值。2•如图，在锐角MBC中,AB=42,zBAC二45°,zBAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值。BN3•如图"ABC中,AB=2，/BAC=30°,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小，则这个最小值。Part2、正方形1•如图，正方形ABCD的边长为8,M在DC上，丐DM二2,N是AC上的一动点,DN+MN的最小值为。即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小。2•如图所示，正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．23B．26C．3D．63•在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则/BQ周长的最小值为cm（结果不取近似值）。4•如图，四边形ABCD是正方形，AB=10cm,E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小（1）遇9Oo旋9Oo,遇等腰旋顶造等腰直角,造旋转全'遇600旋60。,造等边三角形（2）共旋转（典型的手拉手模型）例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形MBD和ABCE，连接AE与CD,证明：(1)△ABE^^DBC(2)AE=DC(3)AE与DC的夹角为60(4)△AGB^ADFB(5)△EGB^ACFB(6)BH平分ZAHC(7)GF〃AC遇中点旋18Oo,造中心对C1、手拉手模型变式练习1、如果两个等边三角形MBD和ABCE，连接AE与CD,证明：(1)△ABE^^DBC2)AE=DC(3)AE与DC的夹角为60。(4)AE与DC的交点设为H,BH平分ZAHC变式练习2、如果两个等边三角形△ABD和ABCE,连接AE与CD,证明:(^△ABE^^DBC(2)AE=DC⑶AE与DC的夹角为60。(4)AE与DC的交点设为H,BH平分ZAHC(1)如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC,BC为边在AB的同侧作等边△ACM和MBN，连接AN,BM•分别取BM,AN的中点E,F,连接CE,CF,EF.观察并猜想MEF的形状，并说明理由.(2)若将(1)中的"以AC,BC为边作等边△ACM和MBN〃改为"以AC,BC为腰在AB的同侧作等腰"DCM和MBN，”如图2，其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由.例4、例题讲解:1.已知AABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列)，使ZDAF=60°,连接CF.⑴如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF,②AC=CF+CD.(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。2、半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另夕卜两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。CAmM丁;N例1、如图，正方形ABCD的边长为1,AB,AD上各存在一点P、Q，若MPQ的周长为2，求ZPCQ的度数。例2、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+DN，求证：①ZMAN=45°:②YMN的周长=2AB；3AM、AN分别平分ZBMN和ZDNMO例3、在正方形ABCD中，已知ZMAN=45°,若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动：①试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；②求证：AB=AH.例4、在四边形ABCD中,ZB+ZD=180°,AB=AD，若E、F分别在边BC、CD且上，满足EF=BE+DF.求证：ZEAF=1/BADO24、已知：如图1在5±的匸中「^BAC=^P,AB=AC「点D、E分别为线段卫匚上两动点d若44E=4亍.探究线段购、任、眈三字线段之叵的数量关系.那明的思路是：把辭匸绕点4顺时衬旋转昕r得到△遊’r连结EQ.使问题得到解決■请你参考小明的思路探究井解决下列问题：⑴猜想DE、E匸三条线段之间存在朗教量关系式「并对你的猜殖给予证明；(?)当动点王在线段眈上.动点D运动在线段CB延长线上时「如图厂其它案件不变,⑴中探究的结论是否发生改娈？请说明你的猜想并给予证明•
