不等式中恒成立问题的解法专题VIP免费

不等式中恒成立问题的解法专题在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型1：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，（1）f(x)>0x在∈R上恒成立⇔a>0Δ且<0；（2）f(x)<0x在∈R上恒成立⇔a<0Δ且<0。类型2：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)（1）当a>0时，f(x)>0x在∈[α,β]上恒成立⇔¿{−b2a<α¿¿¿，f(x)<0x在∈[α,β]上恒成立⇔¿{f(α)<0¿¿¿（2）当a<0时，f(x)>0x在∈[α,β]上恒成立⇔¿{f(α)>0¿¿¿f(x)<0x在∈[α,β]上恒成立⇔¿{−b2a<α¿¿¿类型3：f(x)>α对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>αf(x)<α对一切x∈I恒成立⇔f(x)max>α。类型4：f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)min>g(x)max(x∈I)恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质对于一次函数f(x)=kx+b,x∈[m,n]有：f(x)>0恒成立⇔¿{f(m)>0¿¿¿例1：若不等式2x−1>m(x2−1)对满足−2≤m≤2的所有m都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：m(x2−1)−(2x−1)<0，；令f(m)=m(x2−1)−(2x−1)，则−2≤m≤2时，f(m)<0恒成立，所以只需{f(−2)<0¿¿¿¿即{−2(x2−1)−(2x−1)<0¿¿¿¿，所以x的范围是x∈(−1+√72,1+√32)。二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数f(x)=ax2+bx+c>0(a≠0,x∈R)有：（1）f(x)>0x在∈R上恒成立⇔a>0Δ且<0；（2）f(x)<0x在∈R上恒成立⇔a<0Δ且<0例2：若不等式(m−1)x2+(m−1)x+2>0的解集是R，求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）m−1≠0时，只需{m−1>0¿¿¿¿，所以，m∈[1,9)。三、利用函数的最值（或值域）（1）f(x)≥m对任意x都成立⇔f(x)min≥m；（2）f(x)≤m对任意x都成立⇔m≥f(x)max。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例3：在ΔABC中，已知f(B)=4sinBsin2(π4+B2)+cos2B,且|f(B)−m|<2恒成立，求实数m的范围。解析：由f(B)=4sinBsin2(π4+B2)+cos2B=2sinB+1, 0f(B)−2¿¿¿¿恒成立，∴m∈(1,3]例4：（1）求使不等式a>sinx−cosx,x∈[0,π]恒成立的实数a的范围。解析：由于函a>sinx−cosx=√2sin(x−π4),x−π4∈[−π4,3π4]，显然函数有最大值√2，∴a>√2。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式a>sinx−cosx,x−π4∈(0,π2)恒成立的实数a的范围。解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得y=sinx−cosx的最大值取不到√2，即a取√2也满足条件，所以a≥√2。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例5：已知a>0,a≠1,f(x)=x2−ax,x当∈(−1,1)时,f有(x)<12恒成立，求实数a的取值范围。解析：由f(x)=x2−ax<12，得x2−121时,只有a≤2才能保证，而0