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一、选择题1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是()A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝x解析：选A. y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误．y＝x－2＝在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．2．函数f(x)＝图象的对称中心为()A．(0,0)B．(0,1)C．(1,0)D．(1,1)解析：选B.由于f(x)＝1＋的图象可看作是将函数y＝的图象向上平移一个单位长度所得到的，而函数y＝是奇函数，其图象关于原点对称，因此f(x)＝1＋的图象的对称中心是点(0,1)，选B.3．已知f(x)＝，则下列函数的图象错误的是()解析：选D.先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个长度单位即可得到y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D不正确．综上所述，选D.4．(2011年高考湖北卷)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝()A．2B.C.D．a2解析：选B. f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①得－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，∴f(2)＝22－2－2＝.5．(2011年高考山东卷)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A．6B．7C．8D．9解析：选B. f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，∴当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x<6时，f(x)＝0有两个根，即x5＝4，x6＝5.x7＝6也是f(x)＝0的根．故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7.二、填空题6．函数y＝x－log2(x＋2)在[－1,1]上的最大值为________．解析：函数y＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上是单调递减函数，所以函数的最大值是f(－1)＝3.答案：37．若函数y＝ax2－2ax(a≠0)在区间[0,3]上有最大值3，则a的值是________．解析： 函数y＝ax2－2ax＝a(x－1)2－a的对称轴为定直线x＝1，且1∈[0,3]，由抛物线开口方向分两种情况讨论：当a>0时，抛物线开口方向向上，由ymax＝f(3)＝9a－6a＝3a＝3，得a＝1；当a<0时，抛物线开口方向向下，由ymax＝f(1)＝－a＝3，得a＝－3.答案：1或－38．已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________．解析：g(x)的零点个数不为零，即f(x)图象与直线y＝a的交点个数不为零，画出f(x)的图象可知，a的最小值为1.答案：1三、解答题9．设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的奇函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝2ax＋(a为实数)．(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式；(2)当a>－1时，试判断f(x)在区间(0,1]上的单调性并证明你的结论．解：(1)设x∈(0,1]，则－x∈[－1,0)，f(－x)＝－2ax＋. f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2ax－，x∈(0,1]．(2)f′(x)＝2a＋＝2. a>－1，x∈(0,1]，≥1，a＋>0.∴f′(x)>0，∴f(x)在区间(0,1]上是单调递增的．10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.(1)若f(－1)＝0，试判断函数f(x)零点的个数；(2)若∀x1，x2∈R，且x10，函数f(x)有两个零点．(2)证明：令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，则g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝，g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝，∴g(x1)·g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2<0.( f(x1)≠f(x2))．∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一个实根，即∃x0∈(x1，x2)，使f(x0)＝[f(x1)＋f(x2)]...