运用数学原理可以巧解物理极值问题广东省徐闻中学郑聪勇大家都知道，物理量的定义、物理定理、物理定律都常常通过数学式来描述，求解物理问题也常常要运用数学，可以说，物理离不开数学。在这里，我讲一讲，如何运用数学原理巧解物理的极值问题。一、运用二次函数极值公式求极值二次函数可作如下变形：=（1）若时，有极小值，；（2）若时，有极大值，。例1、一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以的加速度开始行驶。恰在这时，一辆自行车以的速度同向匀速驶来，从后边赶过汽车，试求汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？解：设自汽车开始运动时开始计时，时刻汽车和自行车的位移分别为：汽车追上自行车之前，时刻两车的距离为由二次函数求极值的公式知当时，有最大值米二、通过三角变换求极值设三角函数可作如下变换令，则有于是有：y当时有极大值例2、一质量为的木块放在水平面上，今以一个大小为的拉力拉着它在水平地面上运动，。已知木块与地面间的动摩擦因数为，拉力沿什么方向拉物体时，物体的加速度最大，此最大值为多少？解：木块运动中受到如图（1）所示的四个力的作用设拉力与不平方向成角。由牛顿第二定律有：（1）（2）并且（3）由以上三式可解得令，则有加速度便可写成：显然当，即拉力方向与水平面的夹角为时，木块运动加速度最大。加速度的最大值为：三、应用数学“定和求积原理”求极值在数学中，如果几个正数之和为常数K，则几个数相等时，其积最大，即时有：当，且，则当时，其积最大，例3、如图2示，一条全长为L，质量为M的柔软绳索，置于光滑水平桌面上。开始，有一段下垂在桌边，并从静止开始运动，试分析：当下垂部分多长时，绳的转折处O的张力最大？最大值是多少？解：设下垂部分长为，O处张力为T。分别隔离两段绳子，依牛顿第二定律有：段：（1）段：（2）由（1）（2）解得，由于上式中与表示两条绳长，均为正数，且（常数），故当，即时，其积最大四、应用数学“定积求和原理”求极值。在数学中，如果几个正数之积为常数，则几个数相等时，其和最小，即时有：当，且，则当时，其和最小例4一架高速战斗机在着陆前为快速制动，一方面以恒定的功率向前喷气，以产生向后的推力，同时开启机尾的阻尼伞，阻尼伞受一空气阻力与飞机速度大小的平方成正比，即，试求飞机减速时加速度的最小值。解：设战斗机以恒定的功率向前喷气时产生的反推力为，则，其中与速率飞机机尾的阻尼伞受到空气阻力为：飞机受到反推力与空气阻力而减速，加速度大小为：上式、均为正值，且（）（）为定值。当=，即时，加速度有最小值。运用数学原理七解物理极值问题的例子还有很多，但限于篇幅，这里就不再列举了。通过以上几例的分析，可见运用数学原理求解物理极值问题，关键是弄清物理概念和规律，正确建立关系式，再选择合适的数学原理分析解答问题。
