2017中考数学专题训练(四)三角形、四边形中的相关证明及计算纵观近5年中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题．类型1三角形的有关计算及证明【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG即可．【学生解答】证明：(1) ∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又 ∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H. AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又 AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又 H为AB中点，∴G为BD中点， E为AC中点，∴AE＝EC.又 ∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.针对练习1．已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝10，D为△ABC外一点，连接AD，BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E.若△ABD是等边三角形，求DE的长．解： △ABD是等边三角形，AB＝10，∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝10. DH⊥AB，∴AH＝12AB＝5.∴DH＝AD2－AH2＝102－52＝53. △ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°.∴∠AEH＝45°.∴EH＝AH＝5.∴DE＝DH－EH＝53－5.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE＝DF，AD＝2，BC＝6，求四边形AEDF的周长．解： AB＝AC，E，F分别是边AB，AC的中点，∴AE＝AF＝12AB.又 DE＝DF，AD＝AD，∴△AED≌△AFD.∴∠EAD＝∠FAD.∴AD⊥BC，且D是BC的中点．在Rt△ABD中， E是斜边AB的中点，∴DE＝AE.同理，DF＝AF.∴四边形AEDF的周长是2AB.在Rt△ABD中，AD＝2，BD＝12BC＝3，AB＝4＋9＝13，∴四边形AEDF的周长为213.3．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.证明：(1)BH＝AC. ∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC.又 ∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA.∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC；(2)连接GC.则GC2－GE2＝EC2. F为BC中点，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝GC.∴BG2－GE2＝EC2. ∠ABE＝∠CBE，∠CEB＝∠AEB，BE＝BE，∴△BCE≌△BAE.∴EC＝EA，∴BG2－GE2＝EA2.4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.(1)求证：BE＝CF；(2)在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE＝DN.证明：(1) ∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°. FC⊥BC，∴∠BCF＝90°.∴∠ACF＝90°－45°＝45°，∴∠B＝∠ACF. ∠BAC＝90°，FA⊥AE，∴∠BAE＋∠CAE＝90°，∠CAF＋∠CAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAF.在△ABE和△ACF中，∠BAE＝∠CAF，AB＝AC，∠B＝∠ACF，∴△ABE≌△ACF(ASA)．∴BE＝CF；(2)①过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形．∴HE＝BH，∠BEH＝45°. AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE＝HE，∴DE＝BH＝HE. BM＝2DE，∴HE＝HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH＝45°，∴∠BEM＝45°＋45°＝90°，∴ME⊥BC.②由题意，得∠CAE＝45°＋12×45°＝67.5°，∴∠CEA＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠CAE＝∠CEA＝67.5°，∴AC＝CE.在Rt△ACM和Rt△ECM中，CM＝CM，AC＝CE，∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，∴∠ACM＝∠ECM＝12×45°＝22.5°.又 ∠DAE＝12×45°＝22.5°，∴∠DAE＝∠ECM. ∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝CD＝12BC.在△ADE和△CDN中，∠DAE＝∠ECM，AD＝CD，∠ADE＝∠CDN，∴△ADE≌△CDN(ASA)，∴DE＝DN.http://www.czs...
