专题提升(三)数式规律型问题【经典母题】观察下列各式：52＝25；152＝225；252＝625；352＝1225；⋯你能口算末位数是5的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由．解：把末位数是5的自然数表示成10a＋5的一般形式，其中a为自然数，则(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25＝100a(a＋1)＋25，因此在计算末位数是5的自然数的平方时，只要把100a与a＋1相乘，并在积的后面加上25即可得到结果．【思想方法】模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛，是热点考题之一．【中考变形】1．小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3－2＝1；8＋7－6－5＝4；15＋14＋13－12－11－10＝9；24＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16；⋯根据以上规律可知第10行左起第1个数是(C)A．100B．121C．120D．82【解析】根据规律可知第10行等式的右边是102＝100，等式左边有20个数加减． 这20个数是120＋119＋118＋⋯＋111－110－109－108－⋯－102－101，∴左起第1个数是120.2．[2016·邵阳]如图Z3－1，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是(B)图Z3－1A．y＝2n＋1B．y＝2n＋nC．y＝2n＋1＋nD．y＝2n＋n＋1【解析】 观察可知：左边三角形的数字规律为1，2，⋯，n，右边三角形的数字规律为21，22⋯，2n，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，⋯，n＋2n，∴最后一个三角形中y与n之间的关系为y＝2n＋n.3．[2018·中考预测]根据图Z3－2中箭头的指向规律，从2017到2018再到2019，箭头的方向是下列选项中的(D)图Z3－2【解析】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，2017÷4＝504⋯⋯1，∴2017是第505个循环组的第2个数，∴从2017到2018再到2019，箭头的方向是.故选D.4．挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图Z3－3中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，⋯则第6次应拿走(D)图Z3－3A．②号棒B．⑦号棒C．⑧号棒D．⑩号棒【解析】仔细观察图形，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒．5．[2017·烟台]用棋子摆出下列一组图形(如图Z3－4)：图Z3－4按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为(D)A．3nB．6nC．3n＋6D.3n＋3【解析】 第1个图需棋子3＋3＝6；第2个图需棋子3×2＋3＝9；第3个图需棋子3×3＋3＝12；⋯∴第n个图需棋子(3n＋3)个．6．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，⋯叫做三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，⋯以此类推，那么第9个三角形数是__45__，2016是第__63__个三角形数．【解析】根据所给的数据发现：第n个三角形数是1＋2＋3＋⋯＋n，则第9个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45；由1＋2＋3＋4＋⋯＋n＝2016，得n（n＋1）2＝2016，解得n＝63(负数舍去)．7．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1.如：第1位同学报11＋1，第2位同学报12＋1，第3位同学报13＋1，⋯这样得到的100个数的积为__101__.【解析】 第1位同学报的数为11＋1＝21，第2位同学报的数为12＋1＝32，第3位同学报的数为13＋1＝43，⋯∴第100位同学报的数为1100＋1＝101100，∴这样得到的100个数的积＝21×32×43×⋯×101100＝101.8．[2017·潍坊]如图Z3－5，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；⋯按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为__9n＋3__．图Z3－5【解析】 第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝6＋6＝12＝9＋3； 第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝11＋10＝21＝9×2＋3； 第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝16＋14＝30＝9×3＋3，⋯∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和＝9n＋3.9．观察下列等式：第一个等式：a1＝11＋2...
