圆中的基本概念及定理（讲义）课前预习在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r的圆的周长为，面积为．在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径．B一条弧AB和经过这条弧的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形．顶点在圆心的角叫做圆心角．AO知识点睛1.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做．其固定的端点O叫做，线段OA叫做．以点O为圆心的圆，记作，读作“圆O”．2.圆中概念：弧：，弧包括和；弦：；圆周角：；圆心角：；弦心距：；等圆：；等弧：．3.圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是；圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理：*（1）垂径定理：．推论：．（2）四组量关系定理：在中，如果、、、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（3）圆周角定理：．推论1：．推论2：，．推论3：．注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．OOOO圆中处理问题的思路：①找圆心，连半径，转移边；②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式；③遇直径，找直角，由直角，找直径；④由弧找角，由角看弧．CDOABCDARBAB精讲精练1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（）︵︵A．CM=DMB．CB=BDC．∠ACD=∠ADCD．OM=MBAMOBC第1题图第2题图2.如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=的半径为．，则⊙O3.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为mm．O第3题图第4题图4.如图，圆拱桥桥拱的跨度AB=12m，桥拱高CD=4m，则拱桥的直径为．5.如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，垂足为E，连接OB，CB．已知⊙O的半径为2，AB=2，则∠BCD=．COED6A8mmB3COEECDAOB6.如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50°，则∠ACD=．DCDAOBOCAB第6题图第7题图7.一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为．8.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=3，则∠D=．BAD9.如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与A，B重合，则∠ACB的度数为（）A．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°10.如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO．以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于F，G两点，连接EF．若∠BAC=22°，则∠EFG=．AFOGBODBCE11.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD的度数为_．A12.如图，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．ACDB13.已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为．OE2【参考答案】课前预习圆心；半径；2πr；πr2知识点睛1.圆；圆心；半径；⊙O．2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧；优弧；劣弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦；顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角；顶点在圆心的角叫做圆心角；圆心到弦的距离叫做弦心距；能够重合的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧3.任意一条过圆心的直线；圆心．4.（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（2）同圆或等圆，两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距．（3）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．圆内接四边形对角互补．精讲精练1.D2.23.84.13m5.30°6.40°7.100cm8.60°9.D10.33°11.128°12.13.7cm或17cm5
