九年级数学下册期末高效复习专题4相似三角形含解析浙教版VIP专享VIP免费

专题4相似三角形题型一比例线段、平行线分线段成比例定理例1如图1，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝12，那么CE的长等于__245__．图1【解析】 AB∥CD∥EF，∴ADAF＝BCBE，即35＝BC12，∴BC＝365，∴CE＝BE－BC＝12－365＝245.【点悟】利用平行线分线段成比例定理解题时，要注意找好对应线段，通常用左上左下＝右上右下，左上左全＝右上右全等关系分段寻找．变式跟进1．[2017·镇江]如图2，△ABC中，AB＝6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点落在边BC上，已知BE′＝5，D′C＝4，则BC的长为__2＋34__．图2【解析】①由条件“DE∥AC”可得△BDE∽△BAC，即有BDBA＝BEBC；②由题意可得BE＝BE′＝5，BD＝BD′＝BC－D′C＝BC－4，AB＝6.设BC＝x，由①，②可列方程：x－46＝5x，解得x＝2＋34(负值舍去)，故BC的长为2＋34.题型二相似三角形的判定例2[2017·祁阳期末]已知：如图3，∠1＝∠2，AB·AC＝AD·AE.图3求证：∠C＝∠E.证明：在△ABE和△ADC中， AB·AC＝AD·AE，∴ABAD＝AEAC，又 ∠1＝∠2，∴△ABE∽△ADC，∴∠C＝∠E.【点悟】判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定3)或找夹边成比例(用判定2)；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例．变式跟进2．[2017·随州]在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝__53或125__时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．【解析】 ∠A＝∠A，分两种情况：①当ADAE＝ABAC时，△ADE∽△ABC，即2AE＝65，∴AE＝53；②当ADAE＝ACAB时，△ADE∽△ACB，即2AE＝56，∴AE＝125.综上所述，当AE＝53或125时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．3．[2017·嘉兴模拟]已知：如图4，四边形ABCD是正方形，∠PAQ＝45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连结MN.图4(1)求证：△ABM∽△NDA；(2)连结BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．解：(1)证明： 四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°， BM，DN分别是正方形的两个外角平分线，∴∠ABM＝∠ADN＝135°， ∠MAN＝45°，∴∠BAM＝∠AND＝45°－∠DAN，∴△ABM∽△NDA；(2)当∠BAM＝22.5°时，四边形BMND为矩形．证明： ∠BAM＝22.5°，∠EBM＝45°，∴∠AMB＝22.5°，∴∠BAM＝∠AMB，∴AB＝BM，同理AD＝DN， AB＝AD，∴BM＝DN， 四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠BDN＝∠DBM＝90°，∴∠BDN＋∠DBM＝180°，∴BM∥DN，∴四边形BMND为平行四边形， ∠BDN＝90°，∴四边形BMND为矩形．题型三相似三角形的性质例3如图5，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，若AB＝2，则此三角形移动的距离AA′＝__2－1__．图5【解析】设BC与A′C′交于点E，由平移的性质知，AC∥A′C′，∴△BEA′∽△BCA，∴S△BEA′∶S△BCA＝A′B2∶AB2＝1∶2， AB＝2，∴A′B＝1，∴AA′＝AB－A′B＝2－1.【点悟】(1)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；(2)相似三角形对应高线、中线、角平分线的比等于相似比．变式跟进4．[2017·自贡]如图6，在△ABC中，MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为__1__．图6【解析】 MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴AMAB＝MNBC. AM＝1，MB＝2，BC＝3，∴11＋2＝MN3，解得MN＝1.5．如图7，有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知：BC＝8cm，高AD＝12cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G，H分别在AC，AB上，设HE的长为ycm，EF的长为xcm.(1)写出y与x的函数关系式；(2)当x取多少时，四边形EFGH是正方形？图7解：(1) BC＝8cm，高AD＝12cm，HE的长为ycm，EF的长为xcm，四边形EFGH是矩形，∴AK＝AD－y＝12－y，HG＝EF＝x，HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴AK...