二阶线性微分方程解的结构教材VIP免费

1附录A线性常微分方程本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。把包含未知函数和它的j阶导数()jy(的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式()(1)110()()'()()nnnypxypxypxyfx（A.1）其中n称为方程的阶数，()jpx和()fx是给定的函数。可微函数()yyx在区间I上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在I上的一个解。，()fx称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0fx时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。A.1一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程表示为'()()ypxyfxxI，.（A.2）当()0fx，方程退化为'()0ypxy,（A.3）假设()yx不恒等于零，则上式等价于'()ypxy2而'ln'yyy，从而（A.3）的通解为()d()pxxyxCe（A.4）对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()dpxxe()d()d()d'()()pxxpxxpxxeypxeyefx注意到上面等式的左端()d()d()d''()pxxpxxpxxeypxeyey‘因此有()d()d'()pxxpxxeyefx‘两端积分()d()d()dpxxpxxeyCefxx‘其中C是任意常数。进一步有()d()d()dpxxpxxyeCefxx‘综上有如下结论定理A.1假设()()pxfxI和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式()d()d()d()()dpxxpxxpxxyxCeeefxx‘（A.5）其中C是任意常数。观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于一阶线性齐次常微分方程（A.2）的通解()dpxxCe加上函数3()d()d*()()dpxxpxxyxeefxx。容易验证，*()yx是方程（A.1）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。例1求解一阶常微分方程'21yy解此时()2()1pxfx，,由（A.5）式，解为2222()1d12xxxxyxCeeexCe‘其中C是任意常数。A.2二阶线性常微分方程将具有以下形式的方程"()'()()ypxyqxyfxxI，，（A.6）称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()pxqxfx都是变量x的已知连续函数。称"()'()0ypxyqxyxI，，（A.7）为与（A.6）相伴的齐次方程.A．2．1二阶线性微分方程解的结构首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。定理A.2如果函数12()()yxyx与是线性齐次方程（A.7）的两个解，则函数1122()()ycyxcyx仍为该方程的解，其中12,cc是任意的常数。定理1说明齐次线性常微分方程（A.7）的解如果存在的话，一定有无穷多个。为了说明齐次线性常微分方程（A.7）通解的结构，首先给出函数线性无关4的定义。定义A.1设函数12(),(),,()nyxyxyx是定义在区间I上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数12,,nkkk，，使得1122()()()0nnkyxkyxkyx在区间I上恒成立，则称函数12(),(),,()nyxyxyx在区间上线性相关，否则称为线性无关。例如函数221cos,sinxx，在整个数轴上是线性相关的，而函数xxee和在任何区间(,)ab内是线性无关的。特别的，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只需要看它们的比值是否为常数即可，比值为常数，那么它们线性相关，否则线性无关。有了函数线性无关的概念，就有如下二阶线性齐次微分方程（A.7）通解结构的定理。定理A.3假设线性齐次方程（A.7）中，函数()()pxqx与在区间I上连续，则方程（A.7）一定存在两个线性无关的解。类似于代数学中齐次线性方程组，二阶线性齐次常微分方程的解集合也存在基础解系。定理A.4若12()()yxyx与是二阶线性齐次常微分方程（A.7）的两个线性无关的特解，则1122()()ycyxcyx是该方程的通解，其中12,cc是任意的常数。从定理A.4可以看出二阶线性齐次常微分方程（A.7）的任何两个线性无关的特解构成其基础解系。关于二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的通解，有如下结论定理A.5若函*()yx是方程（A.6）的一个特解，()Yx是方程（A.6）相伴的齐次方程的通解，则()*()yxyxYx是二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的通解。5从定理A.4,A.5可以得到求解二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的通解的一般步骤：（１）求解与（A.6）相伴的齐次...