1切线的相关证明与计算1、如图所示,直线DP和☉O相切于点C,交直径AE的延长线于点P,过点C作AE的垂线,交AE于点F,交☉O于点B,作平行四边形ABCD,连接BE,DO,CO.(1)求证：DA=DC;(2)求∠P及∠AEB的大小.第1题图(1)证明： 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，CB⊥AE，∴AD⊥AE，∴∠DAO＝90°，又 直线DP和☉O相切于点C，∴DC⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴在Rt△DAO和Rt△DCO中，DO＝DOAO＝CO，∴Rt△DAO≌Rt△DCO(HL)，∴DA＝DC；(2)解： CB⊥AE，AE是⊙O的直径，∴CF＝FB＝12BC，又 四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴CF＝12AD，又 CF∥DA，∴△PCF∽△PDA，∴PCPD＝DCPD＝12，即PC＝12PD，DC＝12PD.由(1)知DA＝DC，∴DA＝12PD，∴在Rt△DAP中，∠P＝30°. DP∥AB，∴∠FAB＝∠P＝30°，又 ∠ABE＝90°，∴∠AEB＝90°－30°＝60°.2、如图，已知AO为Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，ACBC＝43，以O为圆心，OC为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)求tan∠CAO的值；2(3)求CFAD的值.第2题图(1)证明：作OG⊥AB于点G，如解图． 在△OGA和△OCA中，∠OGA＝∠OCA∠GAO＝∠CAOAO＝AO，∴△OGA≌△OCA(AAS)，∴OG＝OC，∴OG为⊙O的半径， OG⊥AB，∴AB是⊙O的切线；(2)解：设AC＝4x，BC＝3x，⊙O半径为r，则AB＝5x，由切线长定理知，AC＝AG＝4x，故BG＝x. tan∠B＝OG∶BG＝AC∶BC＝4∶3，∴OG＝43BG＝43x，∴tan∠CAO＝tan∠GAO＝43x4x＝13；(3)解：在Rt△OCA中，AO＝OC2＋AC2＝4103x，∴AD＝OA－OD＝43(10－1)x.如解图，连接CD，则∠DCF＋∠ECD＝∠ECD＋∠CEF，∴∠DCF＝∠CEF，又∠CEF＝∠EDO＝∠FDA，∴∠DCF＝∠ADF，又 ∠FAD＝∠DAC，第2题解图∴△DFA∽△CDA，∴DA∶AC＝AF∶AD，即43(10－1)x∶4x＝AF∶43(10－1)x，∴AF＝49(11－210)x，∴CF＝8（10－1）x9，3∴ADCF＝32.3、如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点F.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的长．第3题图(1)证明： AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB＋∠EBA＝90°， ∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE，∴∠EAB＝∠CBE，∴∠ABE＋∠CBE＝90°，∴CB⊥AB， AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线；(2)解： BD平分∠ABE，∴∠ABD＝∠DBE，如解图，连接DO， OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EBD＝∠ODB，第3题解图∴OD∥BE，∴PDPE＝POPB， PA＝AO，∴PA＝AO＝OB，∴POPB＝23，∴PDPE＝23，∴PDPD＋DE＝23， DE＝2，∴PD＝4.4、如图,CD是⊙O的直径,点B在⊙O上,连接BC、BD,直线AB与CD的延长线相交于点A,AB2=AD·AC,OE∥BD交直线AB于点E,OE与BC相交于点F,(1)求证：直线AE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3,cosA=54,求OF的长.第4题图(1)证明：如解图，连接OB，4 AB2＝AD·AC，∴ABAD＝ACAB， ∠A为公共角，∴△ABD∽△ACB，∴∠ABD＝∠ACB，在⊙O中，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC＝∠ABD， CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∴∠OBC＋∠OBD＝90°，∴∠OBD＋∠ABD＝90°，即∠OBA＝90°， 点B为AE上一点，且OB为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；第4题解图(2)解：在Rt△ABO中，OB＝3，cosA＝ABOA＝45，∴设AB＝4k，OA＝5k(k>0)，又OA2＝AB2＋OB2，∴(5k)2＝(4k)2＋32，∴k2＝1(k>0)，∴k＝1，即AB＝4，OA＝5， OD＝3，∴AD＝OA－OD＝2， OE∥BD，∴ADOD＝ABBE，即23＝4BE，∴BE＝6.在Rt△OBE中，OE＝BE2＋OB2＝62＋32＝35， ∠CBD＝90°，BD∥OE，∴∠EFB＝90°， S△OBE＝12OB·BE＝12OE·BF，∴BF＝OB·BEOE＝3×635＝655，在Rt△OBF中，由勾股定理可知，555355632242BFBOOF.5、如图，在△ABD中，AB=AD,以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD于点E，CG⊥AD于点G.（1）求证：GC是⊙F的切线；（2）若△BCF的面积为15，求△BDA的面积；第5题图(1)证明： AB＝AD，FB＝FC，∴∠B＝∠D，∠B＝∠BCF，∴∠D＝∠BCF，∴CF∥AD， CG⊥AD，∴CG⊥CF，又 FC为⊙F的半径，∴GC是⊙F的切线；(2)解：由(1)得：CF∥AD，∴△BCF∽△BDA， BFBA＝12，∴S△BCF∶S△BDA＝1∶4，∴S△BDA＝4S△BCF＝4×15＝60.6、如...
