1多解题类型一与三角形有关的多解题1、已知D，E分别在直线AB，AC上，且BC∥DE，∠BAC＝90°，∠C＝30°，BC＝2DE＝8，则BD的长为________．2或6【解析】如解图①，当D，E分别为AB，AC的中点时，BC∥DE，此时，AB＝12BC＝4，∴BD＝2；如解图②，当D，E分别在BA，CA的延长线上时， AB＝12BC＝4,BC∥DE，∴AD＝12DE＝2，∴BD＝6.第1题解图2、已知△ABC中，tanB＝23，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD∶CD＝2∶1，则△ABC面积的所有可能值为________．8或24【解析】如解图①， BC＝6，BD∶CD＝2∶1，∴BD＝4，在Rt△ABD中，AD＝BD×tanB＝4×23＝83，∴S△ABC＝12BC·AD＝12×6×83＝8；如解图②， BC＝6，BD∶CD＝2∶1，∴BD＝12，在Rt△ABD中，AD＝BD×tanB＝12×23＝8，∴S△ABC＝12BC·AD＝12×6×8＝24.第2题解图3、在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝30°，AC＝1，以BC为边长作等边三角形BCD，则AD的长为________．1或7【解析】 在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝30°，AC＝1，∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∴BC＝AB·cos30°＝3.以BC为边长作等边三角形有两种情况：①当所作等边三角形在BC边左侧时，如解图①，连接AD. ∠ABC＝30°，∴∠DBA＝30°，∴AB为DC的垂直平分线，∴AD＝AC＝1；②当所作等边三角形在BC边右侧时，如解图②，连接AD. ∠ABC＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ABD＝90°，又 BD＝BC＝3，∴AD＝AB2＋BD2＝22＋（3）2＝7.综上所述，AD的长为1或7.2第3题解图4、如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当△AED与以N、M、C为顶点的三角形相似时，CM的长为________．第4题图55或255【解析】 正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，∴AE＝1，∴DE＝AD2＋AE2＝5，当△AED∽△CNM时，ADCM＝DEMN，即2CM＝51，解得CM＝255；当△AED∽△CMN时，AECM＝DEMN，即1CM＝51，解得CM＝55，综上所述，CM的长为55或255.5、如图，菱形ABCD的边长为10，∠BAD＝60°，点P是对角线AC上一点，连接DP、BP，当△ADP是直角三角形时，AP的长为________．第5题图53或2033【解析】由四边形ABCD是菱形得AD＝AB＝BC＝CD，则AB＝10，且∠DAP＝∠BAP， ∠BAD＝60°，∴∠DAP＝30°，要使△ADP为直角三角形，则①当∠APD＝90°时，此时在Rt△ADP中，AD＝10，∠DAP＝30°，∠APD＝90°，则AP＝ADcos30°＝10×32＝53；②当∠ADP＝90°时，此时在Rt△ADP中，∠DAP＝30°，AD＝10，∠ADP＝90°，则AP＝30cosAD＝10×23＝2033.则AP的长为53或2033.类型二与四边形有关的多解题6、如图，菱形ABCD的对角线交于点O，BD、AC的长分别为6、63，将菱形ABCD绕点C旋转60°得到菱形A′B′CD′，则AD′的长为______．3第6题图12或6【解析】 四边形ABCD是菱形，AC＝63，BD＝6，∴AO＝CO＝12AC＝33，BO＝DO＝12BD＝3，AC⊥BD，∴BC＝CD＝CO2＋DO2＝6，∴BC＝CD＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠DCB＝60°.①如解图①，将菱形ABCD绕点C逆时针旋转60°得菱形A′B′CD′，可得点B′与点D重合，A、D、D′三点在一条直线上，∴AD′＝AB′＋B′D′＝AD＋BD＝6＋6＝12；②如解图②，将菱形ABCD绕点C顺时针旋转60°得菱形A′B′CD′，可得点D′与点B重合，∴AD′＝AB＝6.综上可得AD′的长为12或6.第6题解图7、在面积为15的平行四边形ABCD中，已知BC边上的高AE＝52，CD边的高AF＝3，则CE＋CF的值为____________．1＋32或11＋1132【解析】过点A作AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为点E、点F，由平行四边形面积公式得：BC·AE＝CD·AF＝15，解得CD＝5，BC＝6， 四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝6，①如解图①，在Rt△ABE中，AE＝52，由勾股定理得BE＝AB2－AE2＝532，同理DF＝33＞5，即点F在DC的延长线上，∴CE＝6－532，CF＝33－5，即CE＋CF＝1＋32；②如解图②，在Rt△ABE中，AE＝52，由勾股定理得BE＝AB2－AE2＝532，同理DF＝33，∴CE＝BC＋BE＝6＋532，CF＝CD＋DF＝5＋33，∴CE＋CF＝11＋1132.综上，CE＋CF的值为1＋32或11＋1132.4第7题解图类型三与圆有关的多解题8、已知⊙O的直径AB＝20，弦CD⊥AB于点E，且CD＝16，则AE的长为________．16或4【解析】①如解图①，当弦CD远离A点时...
