1上学期数学与统计学院数学类一、判断题（15分，每小题3分）判断下列各题，请在正确的题后括号内打“√”，错误的题后括号内打“Х”。（1）实数域上致密性定理与柯西收敛原理等价。（）（2）若fx在,ab连续，则fx在,ab一致连续。（）（3）若级数1nnu收敛，则41nnu也收敛。（）（4）若,fxy在axb；dyc上连续，则,bafxydx在[c,d]一致连续。（）（5）若函数序列nSx在区间,ab内闭一致收敛，则nSx在,ab一致收敛。（）二、填空题（15分，每小题3分）。（1）1lim131nnnn＝。（2）已知级数1lnnnx收敛，则x的取值范围为。（3）5201coslim1sinyeyyydxxyxy=。（4）301..2PVdxx=。（5）将2xxeefx展开为x的幂级数，则fx。三、计算题（共42分，每小题7分）。(1)242xxedx（2）求积分101sinln0lnbaxxdxbaxx。（3）设221sin1()1yyyxFydxx，求微分dF。（4）判断正项级数2111212nnn的敛散性。2（5）判别广义积分01xdxxe的敛散性。（6）判别含参变量广义积分10lnxydx在1,33的一致收敛性。四、综合应用题（7分）将21fxx在0,上展开成余弦级数，给出展开的富里埃级数在0,的收敛函数，并由此求级数1211nnn的和。五、证明题（21分，每小题7分）（1）设fx在,ab上连续，又有,nxab，使limnnfxA。证明：存在0,xab，使得0fxA。（2）证明函数1ln1nnnxfxnx在2,上连续。（3）设()fx是(,)内的连续函数，11()(),1,2,nnkkfxfxnnn，证明：函数列{()}nfx在任意有限闭区间上一致收敛。
