第5课时平面与平面的位置关系一、填空题1．已知O是△ABC的外心，P是平面ABC外的一点，且PA＝PB＝PC，α是经过PO的任意一个平面，则α与平面ABC的关系是________．解析：由O是△ABC的外心，PA＝PB＝PC，PO⊥平面ABC，∴α⊥平面ABC.答案：α⊥平面ABC2．设α、β表示平面，l是α、β外的一条直线，给出三个论断：①l⊥α；②α⊥β；③l∥β.以其中两个为条件，另一个为结论可以构成三个命题，请写出其中的两个真命题：________.答案：①②⇒③，①③⇒②3．设α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，当S在α、β之间时，则CS＝________.解析： α∥β，且AB∩CD＝S，∴AC∥BD.∴AS∶SB＝CS∶SD，且AS＝8，BS＝9，CD＝CS＋SD＝34.CS＝16.答案：164．已知平面α∥平面β，AB⊥α，A∈α，B∈β，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥b，A到a的距离是2，B到b的距离是5，AB＝4，则a、b间的距离等于________．解析：当a、b在直线AB的同侧时，过点A作AC⊥a，垂足为C，过点B作BD⊥b，垂足为D，连接CD，可证CD为a、b间的公垂线，且ABDC为直角梯形，AB＝4，AC＝2，BD＝5.∴CD＝5.同理，当a、b在直线AB的异侧时，a、b间的距离为.答案：5或5．(·江苏卷)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析：(1)α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，正确．(2)平面α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l平行于α，正确．(3)如图，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，但不一定有α⊥β，错误．(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故为假命题．综上所述，真命题的序号为(1)(2)．答案：(1)(2)6．(江苏省高考命题研究专家原创卷)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF是异面直线；②直线BE与直线AF是异面直线；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的序号是________．解析：由所给展开图还原出直观图，可证得EF∥BC，四边形EBCF为等腰梯形，从而可知结论①错误，③正确；由直观图易知，结论②显然正确；由所给条件得不到结论④.综上所述，正确结论的序号是②③.答案：②③7．设m、n是异面直线，则(1)一定存在平面α，使m⊂α且n∥α；(2)一定存在平面α，使m⊂α且n⊥a；(3)一定存在平面γ，使m，n到γ的距离相等；(4)一定存在无数对平面α与β，使m⊂α，n⊂β且α∥β；上述四个命题中正确命题的序号为________．解析：(2)错误，如果命题(2)正确，则一定有n⊥m，而已知没有这个条件；(4)错误，只存在一对满足条件的平面．答案：(1)(3)二、解答题8．(·扬州中学高三考试)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC，D、E分别为BC、B1C的中点，求证：(1)DE∥平面ABB1A1；(2)平面ADE⊥平面B1BC.证明：(1)在△CBB1中， D、E分别为BC、B1C的中点，∴DE∥BB1，又 BB1⊂平面ABB1A1，DE⊄平面ABB1A1，∴DE∥平面ABB1A1.(2) 三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱∴BB1⊥平面ABC， AD⊂平面ABC，∴BB1⊥AD 在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC BB1∩BC＝B，BB1、BC⊂平面B1BC，∴AD⊥平面B1BC又 AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面B1BC.9．(·江苏通州市高三素质检测)如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE＝BC，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE.求证：(1)AE⊥BE；(2)AE∥平面BFD.证明：(1) 平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，AD⊥AB，∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE. AD∥BC，则BC⊥AE.又BF⊥平面ACE，则BF⊥AE. BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE.(2)设AC∩BD＝G，连接FG，易知G是AC的中点， BF⊥平面ACE，则BF⊥CE.而BC＝BE，∴F是EC中点．在△ACE中，FG...
