第7课时空间向量的应用一、填空题1．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值等于________．解析：sinθ＝＝.答案：2．下面命题中，正确命题的序号为________．①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量且a与α共面，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．解析：①不正确，有可能重合．答案：②③④3.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为________．解析：建立如下图所示空间直角坐标系，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则A1(b,0,0)，A(b,0，c)，C1(0，a,0)，C(0，a，c)，B1(b，a,0)，D(0,0，c)，N，M. ∠CMN＝90°，∴∴＝·＝－b2＋c2＝0.∴c＝b.∴＝(－b,0，－b)·＝－b2＋b2＝0.∴AD1⊥DM，即所成角为90°.答案：90°4．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为________．解析：取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝a，则B，C1，A，B1，∴＝0.∴AB1与C1B所成角为90°.答案：90°5．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角为________．解析：如图以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝BC＝AA1＝2则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)则＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)，∴＝2.∴∴EF和BC1所成角为60°.答案：60°6．已知点A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，则平面ABC的单位法向量为________．解析：由已知得＝(－a，b,0)，＝(－a,0，c)．设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝－ax＋by＝0，n·＝－ax＋cz＝0.解得y＝x，z＝x.令x＝bc，则y＝ac，z＝ab，∴一个法向量为n＝(bc，ac，ab)．故它的单位法向量为n0＝＝(±bc，±ac，±ab)．即单位法向量为n0＝.答案：二、解答题7．(苏锡常镇四市高三教学情况调查)如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2.(1)求异面直线PC与BD所成的角；(2)在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由．解： ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，∴PD、DA、DC两两垂直，故分别以DA、DC、DP所在的直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)．(1) ＝(0,2，－2)，＝(2,2,0)，∴＝＝，∴〈〉＝60°，∴异面直线PC与BD所成的角为60°.(2)假设在PB上存在一点E，使PC⊥平面ADE，记 ＝(2,2，－2)，∴＝(2λ，2λ，－2λ)，∴E点的坐标为(2λ，2λ，2－2λ)，∴＝(2λ－2,2λ，2－2λ)．若PC⊥平面ADE，则有PC⊥AE，即＝8λ－4＝0，∴λ＝，∴E点坐标为(1,1,1)．由题知，AD⊥平面PDC，∴PC⊥AD，且AD∩AE＝A，∴PC⊥平面ADE.故存在E点且E为PB的中点时，PC⊥平面ADE.8．(·苏北四市第三次联考)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2AD，若平面PCD与平面PAB所成二面角的余弦值为，求的值．解：以点A为坐标原点，以直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AD＝1，PA＝a，则P(0,0，a)，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－a)，设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)，则·m＝y－za＝0，·m＝2x＋y＝0，不妨设z＝2，则y＝2a，x＝－a，即m＝(－a,2a,2)． PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥PA，又 AD∥BC，∠ABC＝90°，∴AD⊥AB，又PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB，故AD是平面PAB的一个法向量，且＝(0,1,0)，∴＝，又 平面PCD与平面PAB所成二面角的余弦值为，∴＝，解得a＝2，∴＝2.9．(江苏省高考命题研究专家原创卷)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别是棱C1D1、CC1的中点，求直线B1N与平面BDM所成角的正弦值．解：分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B1(2,2,2)，N(0,2,1)，＝(2,0,1)．又M(0,1,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，则＝(2,2,0)，＝(0,1,2)...
