【创新设计】-学年高中数学2-3-1数乘向量活页训练北师大版必修4双基达标限时20分钟1．已知实数m，n和向量a，b，给出下列命题()．①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na(a≠0)，则m＝n.其中正确的命题是()．A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解析若m＝0，则ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确．答案B2．已知向量a、b且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()．A．B、C、DB．A、B、CC．A、B、DD．A、C、D解析∵BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB，∴A、B、D三点共线．答案C3．已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c则向量OD等于()．A．a＋b＋cB．a－b＋cC．a＋b－cD．a－b－c解析如右图，点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c.结合图形有OD＝OA＋AD＝OA＋BC＝OA＋OC－OB＝a＋c－b.答案B4．点C在线段AB上，且＝，则AC＝________AB，BC＝________AB.解析∵＝，∴点C为线段AB的5等分点，∴AC＝AB，BC＝－AB.答案－5．已知点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，AB＝2e1，BC＝3e2，则BO＝________.解析BO＝BD＝(AD－AB)＝(3e2－2e1)＝e2－e1.答案e2－e16．已知点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设BC＝a，DA＝b，试用a，b表示EF.解如图，取AB中点P，连接EP，FP.在△ABC中，∵EP是△ABC的中位线，∴PE＝BC＝a.在△ABD中，∵FP是△ABD的中位线，∴PF＝AD＝－b.在△EFP中，EF＝PF－PE＝－(a＋b)．综合提高限时25分钟7．已知λ、μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有()．①λ<0，a≠0，λa与a的方向一定相反；②λ>0，a≠0，λa与a的方向一定相同；③λ≠0，a≠0，λa与a是共线向量；④λμ>0，a≠0，λa与μa的方向一定相同；⑤λμ<0，a≠0，λa与μa的方向一定相反．A．2个B．3个C．4个D．5个解析由λa方向的规定，易知命题①、②、③正确．对于命题④与⑤，当λμ>0时，λ与μ同为正或同为负，所以λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，因而λa与μa同向，故命题④正确，当λμ<0时，λ与μ异号，则λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，因而λa与μa反向．故命题⑤正确．故选D.答案D8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于()．A.B.C．－D．－解析法一由AD＝2DB，可得CD－CA＝2(CB－CD)⇒CD＝CA＋CB，所以λ＝.法二CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，所以λ＝.答案A9．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且OC＝xOA＋yOB，则x＋y＝________.解析∵A，B，C三点共线，∴存在λ∈R使AC＝λAB.∴OC－OA＝λ(OB－OA)．∴OC＝(1－λ)OA＋λOB.∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.答案110．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝________.解析－3＋(2b－a)＝a－b－3a－2b＋2b－a＝－a－b＝－(3i－4j)－(5i＋4j)＝－11i＋j－5i－4j＝－16i＋j.答案－16i＋j11．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M、N、C三点共线．证明设BA＝a，BC＝b，则由向量加法的三角形法则可知：CM＝BM－BC＝BA－BC＝a－b.又∵N在BD上且BD＝3BN，∴BN＝BD＝(BC＋CD)＝(a＋b)，∴CN＝BN－BC＝(a＋b)－b＝a－b＝，∴CN＝CM，又∵CN与CM共点C，∴C、M、N三点共线．12．(创新拓展)(1)设a、b是两不共线的非零向量，已知AB＝3a－2b，BC＝－2a＋4b，CD＝－2a－4b，试判断A、C、D三点是否共线；(1)在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，证明这个四边形为梯形．(1)解∵AC＝AB＋BC＝(3a－2b)＋(－2a＋4b)＝a＋2b.又CD＝－2a－4b＝－2(a＋2b)．∴CD＝－2AC，从而向量CD与AC共线，故A、C、D三点共线．(2)证明∵AD＝AB＋BC＋CD＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，∴AD＝2BC.∴AD与BC共线，且|AD|＝2|BC|.∵这两个向量所在直线不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC.∴四边形ABCD是以AD、BC为两底边的梯形．
