2．4.2抛物线的几何性质双基达标限时15分钟1．顶点在原点，焦点为F(，0)的抛物线的标准方程是________．解析顶点在原点，焦点为F(，0)的抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p>0)，且＝，故p＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝6x.答案y2＝6x2．抛物线x2＝－4y与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A，B两点，则AB＝________．解析由抛物线方程x2＝－4y得p＝2，且焦点坐标为(0，－1)，故A，B两点的纵坐标都为－1，从而|AB|＝|y1|＋|y2|＋p＝1＋1＋2＝4.答案43．焦点为F(0，－1)，准线为y＝1的抛物线的标准方程是__________．解析焦点为F(0，－1)，准线为y＝1的抛物线的标准方程可设为x2＝－2py(p>0)，可得p＝2，因此，所求抛物线的标准方程为x2＝－4y.答案x2＝－4y4．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是________．解析抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3.答案y＝35．抛物线x2＝ay的准线方程是y＝2，则实数a的值为____．解析准线方程为y＝－，∴－＝2，a＝－8.答案－86．求合适下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．解(1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为，故＝4，p＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝±16x或x2＝±16y.(2)双曲线方程16x2－9y2＝144化为标准形式为－＝1，中心为原点，左顶点为(－3，0)，故抛物线顶点在原点，准线为x＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，可得＝3，故p＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝12x.综合提高限时30分钟7．已知抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为2，则点P的坐标为________．解析由题意知，抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线的准线方程为y＝－1.设点P(x0，y0)为抛物线上符合条件的点，则y0＋1＝2，即y0＝1.又x2＝4y，所以x0＝±2.故P(2，1)或P(－2，1)．答案(2，1)或(－2，1)8．直线l过抛物线y2＝ax(a＞0)的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a＝________．解析由通径不变即得a＝4.答案49．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|＝4，则焦点到AB的距离为________．解析设AB方程为x＝m，则A(m，)，B(m，－)．故2＝4，∴m＝3，焦点F(1，0)，故d＝3－1＝2.答案210．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．解析∵直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x准线，∴P到l2的距离d2＝|PF|(F(1，0)为抛物线焦点)，所以P到l1、l2距离之和最小值为F到l1距离＝2.答案211．已知圆x2＋y2－9x＝0与顶点在原点O、焦点在x轴上的抛物线交于A、B两点，△AOB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程．解依题意设所求抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，焦点F，A(x0，y0)，B(x0，－y0)，则∴x02＋(2p－9)x0＝0.①∵OA⊥BF，OA·BF＝0，即x0(－x0)＋y02＝0.整理得，x02－x0＝0.∴x0＝p.②把②代入①得p＝2.∴所求抛物线方程为y2＝4x.12．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若AF＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．解由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．分别过A、B作准线的垂线，垂足为A′、B′.(1)由抛物线的定义可知，AF＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2.∴点A的坐标为(3，2)或(3，－2)．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．与抛物线方程联立，消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，因为直线与抛物线相交于A、B两点，则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝2＋.由抛物线的定义可知，AB＝x1＋x2＋p＝4＋>4.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1，2)，B(1，－2)，此时AB＝4，所以，AB≥4，即线段AB的长的最小值为4.13．(创新拓展)顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，一条直角边OA所在的直线方程为y＝2x，斜边AB的长为5，求抛物线方程．解：如图所示，设抛物线的方程为：y2＝2px(p>0)，由得：A.∵OA⊥OB，∴直线OB的方程为y＝－x.由得：B(8p，－4p)，∵AB＝5，∴AB＝＝5.∴p＝.∴所求抛物线方程为y2＝x.
