第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义A级基础巩固一、选择题1．设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，则m等于()A．12B．3C．－1D．－1或3解析：z＝(2m2＋m－1)＋(3＋2m－m2)i，依题意，2m2＋m－1＝0，且3＋2m－m2≠0，解得m＝12.答案：A2．(2015·福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A．3，－2B．3，2C．3，－3D．－1，4解析：由于(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i所以3－2i＝a＋bi(a，b∈R)，由复数相等定义，a＝3，且b＝－2.答案：A3．在复平面内，复数z1＝15i，z2＝45i－2，z＝z1＋z2，则复数z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为z＝z1＋z2＝15i＋45i－2＝－2＋i，所以实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限．答案：B4．若在复平面上的?ABCD中，AC→对应复数为6＋8i，BD→对应复数为－4＋6i，则DA→对应的复数是()A．2＋14iB．1＋7iC．2－14iD．－1－7i解析：设AB→，AD→对应的复数分别为z1与z2，则由复数加减法的几何意义，得z1＋z2＝6＋8i，z2－z1＝－4＋6i，所以z2＝1＋7i，因此向量DA→对应的复数为－z2＝－1－7i.答案：D5．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA→，OB→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．答案：B二、填空题6．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________．解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，所以a2－a－2＝0，a2＋a－6≠0，解得a＝－1.答案：－17．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA→，OB→对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则CD→对应的复数是________．解析：因为OA→，OB→对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，所以BA→对应的复数为(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i.又在平行四边形ABCD中，CD→＝BA→，故CD→对应的复数为4－2i.答案：4－2i8．复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，若OC→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则yx＝________．解析：因为OC→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，由复数的几何意义，得3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，所以3－2i＝y－x＋(2x－y)i，根据复数相等的充要条件，则3＝y－x，－2＝2x－y，解得x＝1，y＝4.因此yx＝4.答案：4三、解答题9．设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求m的值．解：z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.(1)若z为实数，则m2－3m＋2＝0，所以m＝1或2.(2)若z为纯虚数，则2m2－3m－2＝0，m2－3m＋2≠0，解得m＝－12.故当m＝－12时，z为纯虚数．10．在复平面内，A，B，C三点对应的复数1，2＋i，－1＋2i.D为BC的中点．(1)求向量AD→对应的复数；(2)求△ABC的面积．解：(1)由条件知在复平面内B(2，1)，C(－1，2)．则D12，32，点D对应的复数是12＋32i，AD→＝OD→－OA→＝12，32－(1，0)＝－12，32，所以AD→对应复数为－12＋32i.(2)AB→＝OB→－OA→＝(1，1)，|AB→|＝2，AC→＝OC→－OA→＝(－2，2)，|AC→|＝8＝22，BC→＝OC→－OB→＝(－3，1)，|BC→|＝10，所以|BC→|2＝|AC→|2＋|AB→|2，所以△ABC为直角三角形．所以S△ABC＝12|AB→|·|AC→|＝122×22＝2.B级能力提升1．满足|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上所对应的点的轨迹是()A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－i|＝|3＋4i|，所以x2＋（y－1）2＝32＋42＝5，则x2＋(y－1)2＝25，因此复数z在复平面上对应点的轨迹是以(0，1)为圆心，以5为半径的圆．答案：C2．设f(z)＝|z|＋z－5，且z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于________．解析：因为z1＝3＋4i，z2＝－2－i，所以z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i.又因为f(z)＝|z|＋z－5，所以f(z1－z2)＝|5＋5i|＋(5＋5i)－5＝...
