定积分的简单应用[学习目标]1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题.知识点一定积分在求几何图形面积方面的应用1.求由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a＜b)及y＝0所围成的平面图形的面积S.(1)如图①，f(x)＞0，abf(x)dx＞0，所以S＝abf(x)dx.(2)如图②，f(x)＜0，abf(x)dx＜0，所以S＝abfxdx＝－abf(x)dx.(3)如图③，当a≤x≤c时，f(x)≤0，acf(x)dx＜0；当c≤x≤b时，f(x)≥0，abf(x)dx＞0.所以S＝acfxdx＋cbf(x)dx＝－acf(x)dx＋cbf(x)dx.2.求由两条曲线f(x)和g(x)(f(x)＞g(x))，直线x＝a，x＝b(a＜b)所围成平面图形的面积S.(1)如图④，当f(x)＞g(x)≥0时，S＝ab[f(x)－g(x)]dx.(2)如图⑤，当f(x)＞0，g(x)＜0时，S＝abf(x)dx＋abgxdx＝ab[f(x)－g(x)]dx.3.当g(x)＜f(x)≤0时，同理得S＝ab[f(x)－g(x)]dx.思考(1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？(2)当f(x)<0时，f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示？答案(1)求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可.(2)如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)＝0，下边界函数为f(x)，所以S＝ab(0－f(x))dx＝－abf(x)dx.4.利用定积分求平面图形面积的步骤：(1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案.知识点二定积分在物理中的应用1.在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程s和位移s′分别为：(1)若v(t)≥0，则s＝abv(t)dt，s′＝abv(t)dt.(2)若v(t)≤0，则s＝－abv(t)dt，s′＝abv(t)dt.(3)若在区间[a，c]上v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)<0，则s＝acv(t)dt－cbv(t)dt，s′＝abv(t)dt.2.定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝abv(t)dt.(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所做的功为W＝Fs；而若是变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即W＝abF(x)dx.思考下列判断正确的是.(1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念；(2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子t1t2v(t)dt；(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子t1t2v(t)dt.答案(1)(3)解析(1)显然正确.对于(2)(3)两个判断，由于当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用t1t2v(t)dt求解；当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用t1t2v(t)dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－t1t2v(t)dt.所以(2)错(3)正确.题型一利用定积分求平面图形的面积问题例1求由抛物线y2＝x5，y2＝x－1所围成图形的面积.解在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图.方法一以x为积分变量.由y2＝x5，y2＝x－1，得两个抛物线的两个交点坐标分别为A54，12，B54，－12.设点P(1,0)，则所求面积S＝2054x5dx－154x－1dx＝235532442002531152xx＝23.方法二以y为积分变量.由y2＝x5，y2＝x－1，可得两个抛物线的两个交点坐标分别为A54，12，B54，－12.设点P(1,0)，则所求面积S＝2012(y2＋1－5y2)dy＝2y－43y3120＝23.反思与感悟若以x为积分变量，则被积函数的原函数不易确定，而且计算也比较麻烦；若以y为积分变量，则可以避免这种情况.选取积分变量有时对解题很关键.跟踪训练1在曲线y＝x2(x≥0)上的某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为112.试求：切点A的坐标和过切点A的切线方程.解如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x得过A点的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x20.令y＝0，得x＝x02即Cx02，0.设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，则S＝S...
