人教A版选修2数学归纳法学案VIP免费

学习目标1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)⋯(n－50)＝0.思考1验证n＝1，n＝2，⋯，n＝50时等式成立吗？答成立．思考2能否通过以上归纳出n＝51时等式也成立？为什么？答不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立．(1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：归纳奠基―→证明当n取第一个值n0n0∈N*时命题成立↓归纳递推―→假设当n＝kk≥n0，k∈N*时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法的框图表示类型一用数学归纳法证明等式例1(1)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·⋯·(n＋n)＝2n×1×3×⋯×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．答案2(2k＋1)(2)用数学归纳法证明当n∈N*时，1－12＋13－14＋⋯＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋⋯＋12n.证明①当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12.左边＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即1－12＋13－14＋⋯＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋⋯＋12k，当n＝k＋1时，1－12＋13－14＋⋯＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋⋯＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋⋯＋12k＋1＋(1k＋1－12k＋2)＝1k＋2＋1k＋3＋⋯＋12k＋1＋12k＋2＝1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋⋯＋12k＋1.∴当n＝k＋1时，等式成立．由①②可知，对一切n∈N*等式成立．反思与感悟数学归纳法证题的三个关键点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．跟踪训练1用数学归纳法证明11×3＋13×5＋⋯＋12n－1×2n＋1＝n2n＋1(n∈N*)．证明①当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边．所以当n＝1时等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即：11×3＋13×5＋⋯＋12k－1×2k＋1＝k2k＋1，则当n＝k＋1时，左边＝[11×3＋13×5＋⋯＋12k－1×2k＋1]＋12k＋1×2k＋3＝k2k＋1＋12k＋1×2k＋3＝k2k＋3＋12k＋1×2k＋3＝2k＋1k＋12k＋1×2k＋3＝k＋12k＋1＋1＝右边．∴当n＝k＋1时等式成立．由①②知，对一切n∈N*等式成立．类型二利用数学归纳法证明不等式例2用数学归纳法证明对一切n∈N*,1＋122＋132＋⋯＋1n2≥3n2n＋1.证明(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立．(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋122＋132＋⋯＋1k2≥3k2k＋1，则当n＝k＋1时，要证1＋122＋132＋⋯＋1k2＋1k＋12≥3k＋12k＋1＋1，只需证3k2k＋1＋1k＋12≥3k＋12k＋1＋1.因为3k＋12k＋3－[3k2k＋1＋1k＋12]＝34k＋12－1－1k＋12＝1－k＋12k＋12[4k＋12－1]＝－kk＋2k＋124k2＋8k＋3≤0，所以3k2k＋1＋1k＋12≥3k＋12k＋1＋1，即1＋122＋132＋⋯＋1k2＋1k＋12≥3k＋12k＋1＋1，所以当n＝k＋1时不等式成立．由(1)(2)知，不等式对一切n∈N*都成立．反思与感悟用数学归纳法证明不等式的四个关键：(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明...