2.12定积分的概念与微积分基本定理一、选择题1．与定积分∫dx相等的是()A.∫sindxB.∫|sin|dxC．|∫sindx|D．以上结论都不对解析：∵1－cosx＝2sin2，∴∫dx＝∫|sin|dx＝∫|sin|dx.答案：B2.dx＝()A．lnx＋ln2xB.－1C.D.解析：dx＝＝.答案：C3．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()A.mB.mC.mD.m解析：v＝40－10t2＝0，t＝2，(40－10t2)dt＝＝40×2－×8＝(m)．答案：A4．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为()A.JB.JC.JD．2J解析：由于F(x)与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F·cos30°，W＝(5－x2)·cos30°dx＝(5－x2)dx＝＝×＝(J)．答案：C二、填空题5．汽车以v＝3t＋2m/s作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是________．解析：S＝(3t＋2)dt＝＝×4＋4－＝10－＝(m)．答案：6.5m6．一物体以初速度v＝9.8t＋6.5m/s的速度自由落下，则下落后第二个4s内经过的路程是________．解析：(9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2(m)．答案：261.2m7．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为________．答案：－ln2三、解答题8．证明：把质量为m(单位：kg)的物体从地球的表面升高h(单位：m)处所做的功W＝G·，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径．证明：根据万有引力定律：知道对于两个距离为r，质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力为f(r)＝G·，其中G为引力常数．则当质量为m的物体距地面高度为x(0≤x≤h)时，地心对它的引力f(x)＝G·.故该物体从地面升到h高处所做的功为W＝f(x)dx＝G··dx＝GMmd(k＋x)＝GMm＝GMm＝G·.9．一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动．求：(1)在t＝4s的位置；(2)在t＝4s内运动的路程．解答：(1)在时刻t＝4时该点的位置为(t2－4t＋3)dt＝＝(m)，即在t＝4s时刻该质点距出发点m.(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，在区间[1,3]上，v(t)≤0，所以t＝4s时的路程为S＝(t2－4t＋3)dt＋|(t2－4t＋3)dt|＋(t2－4t＋3)dt＝＋||＋＝＋＋＝4(m)即质点在4s内运动的路程为4m.10．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．解答：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝(x－x2)dx＝＝.又由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，＝∫(x－x2－kx)dx＝＝(1－k)3.又知S＝，所以(1－k)3＝，于是k＝1－＝1－.1．求下列定积分的值(1)dx；(2)edx；(3)∫dx；(4)∫0dx；(5)∫0sin2dx.解答：(1)dx＝(2)＝2－2.(2)edx＝2e＝2e－2.(3)∫dx＝ln(x－1)＝1.(4)∫0dx＝∫0(cosx＋sinx)dx＝(sinx－cosx)＝2.(5)∫0sin2dx＝∫0(1－cosx)dx＝0＝－.2．已知抛物线y＝x2－2ax(a>0)．若过原点的直线l与抛物线所围成的图形面积为a3，求直线l的方程．解答：设过原点的直线方程为y＝kx，解方程组得x1＝0，x2＝k＋2a.当k＋2a>0时，∵S＝∫(kx－x2＋2ax)dx＝∫[(k＋2a)x－x2]dx＝＝.∴(k＋2a)3＝27a3，解得k＝a.所以，直线l的方程为y＝ax.当k＋2a<0时，∵S＝k＋2a[(k＋2a)x－x2]dx＝－.∴－(k＋2a)3＝27a3，解得k＝－5a.所以，直线l的方程为y＝－5ax.
