第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算双基达标限时20分钟1.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，且向量BM＝xa＋yb＋zc，则8xyz＝________.解析显然BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝－a＋b＋c，即x＝－，y＝，z＝1，所以8xyz＝－2.答案－22．四面体ABCD中，设M是CD的中点，则AB＋(BD＋BC)化简的结果是________．解析如图所示，因(BD＋BC)＝BM，所以AB＋(BD＋BC)＝AB＋BM＝AM.答案AM3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量表达式DD1－AB＋BC化简后的结果是________．解析如图所示，因DD1＝AA1，DD1－AB＝AA1－AB＝BA1，BA1＋BC＝BD1，∴DD1－AB＋BC＝BD1.答案BD14．已知向量AB，AC，BC满足|AB|＝|AC|＋|BC|，则下列叙述正确的是________．①AB＝AC＋BC②AB＝－AC－BC③AC与BC同向④AC与CB同向解析由|AB|＝|AC|＋|BC|＝|AC|＋|CB|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC与CB同向．答案④5．已知空间四边形ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF＝________.(用向量a，b，c表示)解析EF＝＝＝3a＋3b－5c.答案3a＋3b－4c6．已知平面四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE＝kOA，OF＝kOB，运用向量法证明EF∥AB.解因为EF＝OF－OE＝k(OB－OA)＝kAB，所以向量EF与AB是共线向量，且所在直线了不重合，所以EF∥AB.综合提高（限时25分钟）7.如图，在空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则用向量a，b，c表示向量MN＝________.解析MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA＝－a＋b＋c.答案－a＋b＋c8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量BD1的是________(填序号)．①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－DD1；④(B1D1－A1A)＋DD1.解析①(A1D1－A1A)－AB＝A1D1＋AA1＋BA＝BD1；②(BC＋BB1)－D1C1＝BC＋BB1＋C1D1＝BC1＋C1D1＝BD1；③(AD－AB)－DD1＝BD＋D1D＝BD－DD1＝BD＋DD1－2DD1＝BD1－2DD1≠BD1；④(B1D1－A1A)＋DD1＝B1D1＋AA1＋DD1＝B1D1＋BB1＋DD1＝BD1＋DD1≠BD1.因此，①②两式的运算结果为向量BD1，而③④两式运算的结果不为向量BD1.故填①②。答案①②9.如图所示，已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1的对角线BC1上的点，且BN∶NC1＝3∶1，设MN＝αAB＋βAD＋γAA1，则α，β，γ的值分别为________．解析MN＝MB＋BN＝DB＋BC1＝(DA＋AB)＋(BC＋CC1)＝－AD＋AB＋AD＋AA1＝AB＋AD＋AA1，所以α＝，β＝，γ＝.答案，，10．已知a＝3m－2n－4p，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，其中b≠0且m，n，p两两不共线，若a∥b，则实数x，y的值分别为________．解析因为a∥b，所以3m－2n－4p＝λ[(x＋1)m＋8n＋2yp]所以λ(x＋1)＝3，8λ＝－2，2yλ＝－4，所以x＝－13，y＝8.答案－13811.如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简(1)AB＋BC＋CD，(2)AB＋GD＋EC，并标出化简结果的向量．解(1)AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD.(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点．∴BE＝EC，EF＝GD.∴AB＋GD＋EC＝AB＋BE＋EF＝AF.故所求向量AD，AF，如图所示．12．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．证明如图所示，平行六面体ABCD－A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，则AO＝AC′＝(AB＋AD＋AA′)．设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点．则AP＝AB＋BP＝AB＋BD′＝AB＋(BA＋BC＋BB′)＝AB＋(－AB＋AD＋AA′)＝(AB＋AD＋AA′)．同理可证：AM＝(AB＋AD＋AA′)AN＝(AB＋AD＋AA′)．由此可知O，P，M，N四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．13．(创新拓展)点A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，应用向量知识证明：MN∥BD.证明连结AM并延长与BC相交于E，连结AN并延长，与CD相交于E，则E、F分别是BC及CD的中点，则MN＝AN－AM＝AF－AE＝(AF－AE)＝EF＝(CF－CE)＝(CD－CB)＝(CD－CB)＝BD，即存在实数，使MN＝BD，所以向量MN与BD是共线向量，且所在直线不重合，所以MN∥BD.
