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高中数学 3-1二维形式的柯西不等式达标训练 新人教A版选修4-5VIP免费

高中数学 3-1二维形式的柯西不等式达标训练 新人教A版选修4-5_第1页
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高中数学 3-1二维形式的柯西不等式达标训练 新人教A版选修4-5_第2页
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第三讲柯西不等式与排序不等式第一节二维形式的柯西不等式一、选择题1.若a,b∈R,且a2+b2=10,则a-b的取值范围是().A.[-2,2]B.[-2,2]C.[-,]D.[-,]解析∵(a2+b2)[12+(-1)2]≥(a-b)2,∴|a-b|≤=2,∴a-b∈[-2,2].答案A2.已知4x2+5y2=1,则2x+y的最大值是().A.B.1C.3D.9解析∵2x+y=2x·1+y·1≤·=·=.∴2x+y的最大值为.答案A3.已知x,y∈R+,且xy=1,则的最小值为().A.4B.2C.1D.≥解析2=4,故选A.答案A4.设a、b∈R+,且a≠b,P=+,Q=a+b,则().A.P>QB.P≥QC.P0,b>0,∴a+b>0.∴≥=(a+b).又∵a≠b,而等号成立的条件是·=·,即a=b,∴>a+b.即P>Q.答案A二、填空题5.函数y=+2的最大值是________.解析根据柯西不等式,知y=1×+2×≤×=.答案6.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=+,Q=·,则P与Q的大小________.解析由柯西不等式,得P≤=+×=·=Q.答案P≤Q7.函数y=2cosx+3的最大值为________.解析y=2cosx+3=2cosx+3≤=.当且仅当=,即tanx=±时,函数有最大值.答案8.函数y=2+的最大值为________.解析y=2+=+1·≤·=·=3.当且仅当·1=·取等号.即2-2x=4x+2,∴x=0时取等号.答案3三、解答题9.若2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值,并求出最小值点.解由柯西不等式(4x2+9y2)(12+12)≥(2x+3y)2=1,∴4x2+9y2≥.当且仅当2x·1=3y·1,即2x=3y时取等号.由得∴4x2+9y2的最小值为,最小值点为.10.设a,b∈R+,若a+b=2,求+的最小值.解∵(a+b)=[()2+()2]≥2=(1+1)2=4.∴2≥4≥,即2.当且仅当·=·,即a=b时取等号,∴当a=b=1时,+的最小值为2.11.已知a2+b2=1,a,b∈R,求证:|acosθ+bsinθ|≤1.证明∵(acosθ+bsinθ)2≤(a2+b2)(cos2θ+sin2θ)=1·1=1,∴|acosθ+bsinθ|≤1.

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