第三讲柯西不等式与排序不等式第一节二维形式的柯西不等式一、选择题1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是()．A．[－2，2]B．[－2，2]C．[－，]D．[－，]解析∵(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，∴|a－b|≤＝2，∴a－b∈[－2，2]．答案A2．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是()．A.B．1C．3D．9解析∵2x＋y＝2x·1＋y·1≤·＝·＝.∴2x＋y的最大值为.答案A3．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为()．A．4B．2C．1D.≥解析2＝4，故选A.答案A4．设a、b∈R＋，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，则()．A．P>QB．P≥QC．P0，b>0，∴a＋b>0.∴≥＝(a＋b)．又∵a≠b，而等号成立的条件是·＝·，即a＝b，∴>a＋b.即P>Q.答案A二、填空题5．函数y＝＋2的最大值是________．解析根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝.答案6．设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝＋，Q＝·，则P与Q的大小________．解析由柯西不等式，得P≤＝＋×＝·＝Q.答案P≤Q7．函数y＝2cosx＋3的最大值为________．解析y＝2cosx＋3＝2cosx＋3≤＝.当且仅当＝，即tanx＝±时，函数有最大值.答案8．函数y＝2＋的最大值为________．解析y＝2＋＝＋1·≤·＝·＝3.当且仅当·1＝·取等号．即2－2x＝4x＋2，∴x＝0时取等号．答案3三、解答题9．若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求出最小值点．解由柯西不等式(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1，∴4x2＋9y2≥.当且仅当2x·1＝3y·1，即2x＝3y时取等号．由得∴4x2＋9y2的最小值为，最小值点为.10．设a，b∈R＋，若a＋b＝2，求＋的最小值．解∵(a＋b)＝[()2＋()2]≥2＝(1＋1)2＝4.∴2≥4≥，即2.当且仅当·＝·，即a＝b时取等号，∴当a＝b＝1时，＋的最小值为2.11．已知a2＋b2＝1，a，b∈R，求证：|acosθ＋bsinθ|≤1.证明∵(acosθ＋bsinθ)2≤(a2＋b2)(cos2θ＋sin2θ)＝1·1＝1，∴|acosθ＋bsinθ|≤1.
