5.2等比数列及其前n项和一、选择题1．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为()A．1B．－C．1或－D．－1或解析：根据已知条件∴＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.答案：C2．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是()A．30B．65C．67D．71解析：设开始的细胞数和n小时后的细胞数构成的数列为{an}．则即＝2.则{an－1}构成等比数列．∴an－1＝1·2n－1，an＝2n－1＋1，a7＝65.答案：B3．在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100等于()A.B．()9C.D．()10解析：令a9＋a10＝b1，a19＋a20＝b2，…，a99＋a100＝b10.它们构成以为公比的等比数列．所以a99＋a100＝a·()9＝.答案：A4．等比数列前n项和为54，前2n项和为60，则前3n项的和为()A．54B．64C．66D．60解析：因为(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，所以62＝54(S3n－60)，所以S3n＝60.答案：D二、填空题5．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.解析：an＝a1qn－1＝a2qn－2＝…＝amqn－m，∴a10＝a3q7，即384＝3q7，∴q7＝27，q＝2.an＝a3qn－3＝3·2n－3.答案：3·2n－36．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第________组．(写出所有符合要求的组号)①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an.其中n为大于1的整数，Sn为{an}的前n项和．解析：① a1＝S1，a2＝S2－S1，q确定，∴等比数列{an}确定．②由S3＝a1＋a2＋a3＝＋a2＋a2q，q＋＋1＝＝0，即q2＋(1－)q＋1＝0.不能唯一确定q，从而该数列不能唯一确定．③qn－1＝，n为奇数时，n－1为偶数，q不能唯一确定．④a1＝唯一确定，即{an}唯一确定．∴①④满足题意．答案：①④7．在数列{an}中，已知a1＝1，an＝2(an－1＋an－2＋…＋a2＋a1)(n≥2，n∈N*)，这个数列的通项公式是________．解析：由已知n≥2时，an＝2Sn－1①当n≥3时，an－1＝2Sn－2②①－②整理得＝3(n≥3)，∴an＝答案：an＝三、解答题8．Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，已知1是S2和S3的等差中项，6是2S2与3S3的等比中项．(1)求S2和S3；(2)求此数列的通项公式；(3)求数列{Sn}的前n项和．解答：(1)根据已知条件整理得解得3S2＝2S3＝6，即(2) q≠1，则可解得q＝－，a1＝4.∴Sn＝＝－(－)n.(3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn＝n－＝n＋[1－(－)n]．9．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝·Sn(n＝1,2,3，…)，证明：(1)数列{}是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.证明：(1)因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，所以(n＋2)·Sn＝n(Sn＋1－Sn)，整理得n·Sn＋1＝2(n＋1)Sn，故＝2·.故{}是以2为公比的等比数列．(2)由(1)知＝4·(n≥2)，于是Sn＋1＝4(n＋1)·＝4an(n≥2)．又当n＝1时，S2＝a1＋a2＝a1＋3S1＝1＋3＝4.所以S2＝4a1，即当n＝1时，结论也成立．因此对任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.10．已知数列{an}、{bn}满足：a1＝1，a2＝a(a为常数)，且bn＝an·an＋1(n＝1,2,3，…)(1)若{an}是等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn；(2)当{bn}是等比数列时，甲同学说：{an}一定是等比数列；乙同学说：{an}一定不是等比数列，你认为他们的说法是否正确？为什么？解答：(1) {an}是等比数列，a1＝1，a2＝a，∴a≠0，an＝an－1.又bn＝an·an＋1，∴b1＝a1·a2＝a，＝＝＝＝a2.即{bn}是以a为首项，a2为公比的等比数列．∴Sn＝(2)甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：设{bn}的公比为q，则＝＝＝q，且a≠0.又a1＝1，a2＝a，a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列，a2，a4，a6，…，a2n，…是以a为首项，q为公比的等比数列，即{an}为：1，a，q，aq，q2，aq2，…当q＝a2时，{an}是等比数列；当q≠a2时，{an}不是等比数列．1．一正项等比数列前11项的几何平均数为25，从11项中抽去一项后所剩10项的几何平均数仍是25，那么抽去的这一项是()A．第6项B．第7项C．第9项D．第11项解析：根据已知条件＝25，即a1a2…a11＝255...
