第三节排序不等式解答题1．若a1≤a2≤…≤an，而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn≤，证明：·.当且仅当a1＝a2…＝＝an或b1＝b2…＝＝bn时等号成立．证明不妨设a1≤a2≤…≤an，b1≥b2≥…≥bn.则由排序原理得：a1b1＋a2b2…＋＋anbn＝a1b1＋a2b2…＋＋anbna1b1＋a2b2…＋＋anbn≤a1b2＋a2b3…＋＋anb1a1b1＋a2b2…＋＋anbn≤a1b3＋a2b4…＋＋an－1b1＋anb2……a1b1＋a2b2…＋＋anbn≤a1bn＋a2b1…＋＋anbn－1.将上述n个式子相加，得：n(a1b1＋a2b2…＋＋anbn)≤(a1＋a2…＋＋an)(b1＋b2…＋＋bn)上式两边除以n2，得：≤.等号当且仅当a1＝a2…＝＝an或b1＝b2…＝＝bn时成立．2．设a1，a2…，，an为实数，证明：≤.证明不妨设a1≤a2≤a3≤…≤an由排序原理得a＋a＋a…＋＋a＝a1a1＋a2a2＋a3a3…＋＋anan.a＋a＋a…＋＋a≥a1a2＋a2a3＋a3a4…＋＋ana1a＋a＋a…＋＋a≥a1a3＋a2a4＋a3a5…＋＋ana2a＋a＋a…＋＋a≥a1an＋a2a1＋a3a2…＋＋anan－1以上n个式子两边相加n(a＋a＋a…＋＋a)＝(a1＋a2＋a3…＋＋an)2两边同除以n2得≥2所以≥结论得证．3．设a1，a2…，，an…≥为正数，求证：＋＋＋＋a1＋a2…＋＋an.证明不妨设a1>a2>…>an>0，则有a>a>…>a也有<<…<，≥由排序原理：乱序和反序和，得：…≥…＋＋＋＋＋＋＝a1＋a2…＋＋an.4．设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c≥表示其对边，求证：.证明法一不妨设A>B>C，则有a>b>c≥由排序原理：顺序和乱序和∴aA＋bB＋cC≥aB＋bC＋cAaA＋bB＋cC≥aC＋bA＋cBaA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC上述三式相加得3(aA＋bB＋cC)≥(A＋B＋C)(a＋b＋c)＝π(a＋b＋c)∴≥.法二不妨设A>B>C，则有a>b>c，≥由排序不等式·，即aA＋bB＋cC≥(a＋b＋c)，∴≥.5．设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a3＋b3＋c3≥3abc.证明不妨设a≥b≥c>0，∴a2≥b2≥c2，≥由排序原理：顺序和反序和，得：a3＋b3≥a2b＋b2a，b3＋c3≥b2c＋c2bc3＋a3≥a2c＋c2a三式相加得2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)．又a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.所以2(a3＋b3＋c3)≥6abc，∴a3＋b3＋c3≥3abc.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．6．设a，b，c是正实数，求证：aabbcc≥(abc).证明不妨设a≥b≥c>0，则lga≥lgb≥lgc.据排序不等式有：alga＋blgb＋clgc≥blga＋clgb＋algcalga＋blgb＋clgc≥clga＋algb＋blgcalga＋blgb＋clgc＝alga＋blgb＋clgc上述三式相加得：3(alga＋blgb＋clgc)≥(a＋b＋c)(lga＋lgb＋lgc)即lg(aabbcc)≥lg(abc)故aabbcc≥(abc).7．设xi，yi(i＝1,2…，，n)是实数，且x1≥x2≥…≥xn，y1≥y2≥…≥yn，而z1，z2，…，zn是y1，y2…，，yn的一个排列．求证：∑(xi－yi)2≥∑(xi－zi)2.证明要证∑(xi－yi)2≥∑(xi－zi)2只需证∑y－2∑xiyi≥∑z－2∑xizi.因为∑y＝∑z，∴只需证∑xizi≤∑xiyi.而上式左边为乱序和，右边为顺序和．由排序不等式得此不等式成立．故不等式∑(xi－yi)2≥∑(xi－zi)2成立．8．已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2(a3＋b3＋c3)>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．证明不妨设a>b>c>0.则a2>b2>c2，a＋b>a＋c>b＋c，∴a2(a＋b)＋b2(a＋c)＋c2(b＋c)>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)，即a3＋c3＋a2b＋b2a＋b2c＋c2b>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)，又∵a2>b2>c2，a>b>c，∴a2b＋b2a
a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．
