6.5含绝对值的不等式一、选择题1．不等式(1＋x)(1－|x|)＞0的解集为()A．{x|0≤x＜1}B．{x|x＜0且x≠－1}C．{x|－1＜x＜1}D．{x|x＜1且x≠－1}解析：不等式可化为或∴0≤x＜1或x＜0且x≠－1.∴x＜1且x≠－1.答案：D2．设a∈(0,1)，则关于x的不等式|x－logax|＜|x|＋|logax|的解集为()A．(0，a)B．(0,1)C．(0，＋∞)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：根据绝对值不等式性质．xlogax＞0⇔即0＜x＜1(0＜a＜1)．答案：B3．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c|B．a2＋≥a＋C．|a－b|＋≥2D.－≤－解析：解法一：当a－b＝－1时，|a－b|＋＝0，故不等式|a－b|＋≥2不一定成立．解法二：|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|；a2＋≥a＋⇔(a＋)2－(a＋)－2≥0⇔(a＋－2)·(a＋＋1)≥0.由a＞0，显然a＋≥2，所以不等式成立；－≤－⇔≤，则不等式显然成立．答案：C4．不等式组的解集是()A．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜2.5}C．{x|0＜x＜}D．{x|0＜x＜3}解析：解法一：由x＞0及＞0，知0＜x＜3.对＞||两边平方，整理，得x(x2－6)＜0.从而0＜x＜，选C项．解法二：(1)当0＜x≤2时，不等式化为(2＋x)(3－x)＞(2－x)(3＋x)，即2x＞0，∴0＜x≤2；(2)当x＞2时，不等式化为(2＋x)(3－x)＞(x－2)(3＋x)，即x2＜6，∴2＜x＜，从而0＜x＜.答案：C二、填空题5．若关于x的不等式|x＋3|＋|x－1|＞a恒成立，则a的取值范围是________．解析：从几何角度看不等式左侧表示数轴上的点到－3和1的距离之和，最小值为4.答案：a＜46．不等式x2＞2－|x|的解集是________．解析：2－x2＞2－|x|，所以－x2＞－|x|，所以x2－|x|＜0.所以|x|(|x|－1)＜0，所以－1＜x＜0或0＜x＜1.答案：{x|－1＜x＜0或0＜x＜1}7．已知a∈R，若关于x的方程x2＋x＋|a－|＋|a|＝0有实根，则a的取值范围是________．解析：方程即|a－|＋|a|＝－x2－x，利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数a的取值范围为[0，]．答案：[0，]三、解答题8．设f(x)＝x2－x＋b，|x－a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．证明：∵f(x)－f(a)＝(x－a)(x＋a－1)，又|x－a|＜1，∴|f(x)－f(a)|＝|x－a||x＋a－1|≤|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋2|a|＋1＜2|a|＋2＝2(|a|＋1)．9．关于实数x的不等式|x－|≤与x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0(其中a∈R)的解集依次记为A与B，求使A⊆B的a的取值范围．解答：简化集合A和B，然后对字母参数a进行讨论．A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}．当3a＋1≥2，即a≥时，得B＝{x|2≤x≤3a＋1}．欲使A⊆B，只要得1≤a≤3；当3a＋1＜2，即a＜时，得B＝{x|3a＋1≤x≤2}．欲使A⊆B，只要得a＝－1.综上，使A⊆B的a的取值范围是1≤a≤3或a＝－1.10．设m等于|a|、|b|和1中最大的一个，当|x|＞m时，求证：|＋|＜2.证明：∵|x|＞m≥|a|，又|x|＞m≥|b|，且|x|＞m≥1，则|x|2＞|b|.∴|＋|≤||＋||＝＋＜＋＝2，故原不等式成立．1．若|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是________．解析：若(a＋b)(a－b)≥0，则|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2；若(a＋b)(a－b)＜0，则|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.∴|a＋b|＋|a－b|＜2.答案：|a＋b|＋|a－b|＜22．已知二次函数f(x)满足|f(1)|≤1，|f(0)|≤1，|f(－1)|≤1，求证：|x|≤1时，有|f(x)|≤.证明：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意，得，∴a＝[f(1)＋f(－1)－2f(0)]，b＝[f(1)－f(1)]，c＝f(0)．代入f(x)的表达式变形得：f(x)＝f(1)(x2＋x)/2＋f(－1)(x2－x)/2＋(1－x2)f(0)．∵|f(1)|≤1，|f(0)|≤1，|f(－1)|≤1，∴当|x|≤1时，|f(x)|≤|(x2＋x)/2||f(1)|＋|(x2－x)/2||f(－1)|＋(1－x2)|f(0)|≤|x|(1＋x)/2＋|x|(1－x)/2＋(1－x2)＝－x2＋|x|＋1＝－(|x|－1/2)2＋5/4≤5/4.
