5.3简单的三角恒等变换双基达标(限时20分钟)1．已知sin＝，则sin2x的值为()．A.B.C.D.解析sin2x＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝.答案D2．函数y＝sincos的最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为()．A．2π，x＝B．2π，x＝C．π，x＝D．π，x＝解析y＝sincos＝sin.故选D.答案D3．在△ABC中，若sinC＝2cosAsinB，则三角形ABC是()．A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形解析由sinC＝2cosAsinB得，sin(A＋B)＝2cosAsinB，sinAcosB－cosAsinB＝0，sin(A－B)＝0，得到A＝B.故选C.答案C4．函数y＝cosx＋cosx＋的最大值是________．解析∵y＝2cosx＋cos＝cosx＋，∴ymax＝.答案5．函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期是________．解析∵y＝sin4x＋(1－sin2x)＝sin2x(sin2x－1)＋1∴y＝1－sin2xcos2x＝1－sin22x＝1－×＝cos4x＋，∴T＝＝.答案6．已知函数f(x)＝2asin2x－2asinxcosx＋b(a＞0)的定义域为0，，值域为[－5，4]，求常数a，b的值．解f(x)＝2asin2x－2asinxcosx＋b＝2a·－asin2x＋b＝－(asin2x＋acos2x)＋a＋b.＝－2asin2x＋＋a＋b0≤∵x≤，∴≤2x＋≤π.∴－≤sin2x＋≤1.∵a＞0，∴f(x)max＝2a＋b＝4，f(x)min＝b－a＝－5.由，∴综合提高限时25分钟7．函数f(x)＝sinx－cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是()．A．－π，－B．－，－C．－，0D．－，0解析f(x)＝2sinx－，f(x)的单调递增区间为2kπ－，2kπ＋π(k∈Z)，令k＝0得增区间为－，π，又x∈[－π，0]，所以所求区间为.答案D8．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)sin(α－β)＝()．A．－mB．mC．－D.解析cos2α－cos2β＝(cos2α－cos2β)＝－sin(α＋β)sin(α－β)＝m，∴sin(α＋β)sin(α－β)＝－m.答案A9．已知＝2，则cosα－sinα的值为________．解析由已知＝2，即＝2，∴tan＝.∴cosα－sinα＝cos2－sin2－2sincos＝＝＝＝－.答案－10．和差化积：1＋sinθ＋cosθ＝________．解析1＋sinθ＋cosθ＝(1＋cosθ)＋sinθ＝2cos2＋2sin·cos＝2coscos＋sin＝2cossin－＋sin＝4cos·sin·cos－＝2cos·cos－.答案2coscos－11．设f(x)＝6cos2x－sin2x.(1)求f(x)的最大值及最小正周期；(2)若锐角α满足f(α)＝3－2，求tanα的值．解(1)f(x)＝6·－sin2x＝3cos2x－sin2x＋3＝2＋3＝2cos＋3.故f(x)的最大值为2＋3，最小正周期为π.(2)由f(α)＝3－2，2cos∴＋3＝3－2，cos∴＝－1，又∵0<α<，<2∴α＋<π＋，2∴α＋＝π，解得α＝π，从而tan＝tan＝.12．(创新拓展)已知A，B，C是△ABC的三内角，向量m＝(－1，)，n＝(cosA，sinA)且m·n＝1(1)求角A；(2)若＝－3，求tanC.解(1)∵m·n＝1，∴(－1，)·(cosA，sinA)＝1，即sinA－cosA＝1，2＝1，sin＝.0∵＜A＜π，－＜A－＜，∴A－＝，∴A＝.(2)由题知＝－3，整理得sin2B－sinBcosB－2cos2B＝0，cos∴B≠0，∴tan2B－tanB－2＝0，tan∴B＝2或tanB＝－1.而tanB＝－1使cos2B－sin2B＝0，应舍去．∴tanB＝2，故tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－＝－＝.
