第三讲 梁单元VIP免费

3梁单元3.13.1简单梁单元简单梁单元一、节点位移与节点载荷一、节点位移与节点载荷•对图(a)直梁，根据结构和载荷情况，分为3段，每段为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的物理模型是“焊接”。ifi•梁上任一节点i处有2个位移分量：挠度及转角。一个节点的位移用列阵表示为：Tiiiiiffi称为节点i的节点位移。•对应节点位移分量，梁上任一节点i的载荷也有2项：横向力和弯矩，称为广义力。iZiM•梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。iQ称为节点i的节点载荷。TiiiiiMZMZQ结构上一个节点的载荷用列阵表示为：二、简单梁单元的单元特性单元有2个节点，节点局部编号：i，j。每节点有2个位移分量，单元共有4个位移分量——4个自由度；分析一个从上述梁结构中取出的典型梁单元e。单元长度l，弹性模量E，截面惯性矩为J。•单元的描述：单元的描述：Tjjiieff称为单元e的单元节点位移列阵（向量）。e单元节点位移：注意：1)如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与局部坐标轴正方向一致。因此，节点力正方向与材料力学中内力正方向的定义不同！2)节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。结构中的一个单元一般在节点处的截面上要受到结构其它部分对该梁单元的作用力，称为单元节点力。每节点2个节点力分量：剪力q，弯矩m（分别与节点的2个位移分量对应）。Tjjiiemqmqp称为单元e的单元节点力列阵（向量）。ep单元节点力分量：•单元特性研究结构中的一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一个受力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，这个关系就是单元的弹性特性（刚度特性）。在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节点位移之间有线性关系：jjiijjiiffaaaaaaaaaaaaaaaamqmq44434241343332312423222114131211简记为：eeekp下面根据材料力学结果和单元刚度矩阵物理意义建立梁单元特性。上式就是梁单元的刚度方程。称为单元刚度矩阵，其中每个元素都是常数。ek为了求刚度矩阵元素，在上式中令：00014321uuuu413121114321aaaassss方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为：4321444342413433323124232221141312114321uuuuaaaaaaaaaaaaaaaassss（这里1，2，3，4是单元自由度序号）第1列刚度系数就是第1个节点位移分量为1，其他位移分量皆为0时所有节点力分量。刚度方程确定刚度系数如下：0001e413121114321aaaassss按材料力学梁变形公式求节点力如下：挠度：EJlsEJlsu23122311转角：EJlsEJlsu221220联立解出：21221131612alEJsalEJs再由梁单元的静力平衡条件得：41221431313612alEJslssalEJss至此已求出刚度矩阵的第一列元素。则梁单元变形再设：0010e423222124321aaaassss4321444342413433323124232221141312114321uuuuaaaaaaaaaaaaaaaassss同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：lEJalEJa4622212lEJalEJa2642232梁单元变形由刚度方程可得：同样的方法可以求出其余2列元素，从而求出单元刚度矩阵：2222346266126122646612612lllllllllllllEJke显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质：1）对称性；2）奇异性；3）主对角元...