10.2排列与组合一、选择题1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()A．42B．30C．20D．12解析：可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有AA＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法．(或A＝42)答案：A2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有()A．24种B．60种C．90种D．120种解析：可先排C、D、E三人，共A种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A＝60(种)．答案：B3．(长沙市一中高三月考)10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2个站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为()A．CAB．CAC．CAD．CA解析：从后抽2人的方法种数是C；前排的排列方法种数是AC由分步计数原理不同调整方法种数是CA.答案：C4．(·广东)年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A．36种B．12种C．18种D．48种解析：若四人中包含小张和小赵两人，则不同的选派方案有AA＝12(种)；若四人中恰含有小张和小赵中一人，则不同的选派方案有：CAA＝24(种)，由分类计数原理不同的选派方案共有36种．答案：A二、填空题5．(·郑州高三月考)在一次某高校的招生面试会上，有A、B、C、D四个高校设摊要从6名应试者中各招收且必招收一名学生，若甲、乙两人都不能被A高校录取，且每人只能被一个高校录取或不被录取，则不同的录取方法共有________种．(用数字作答)解析：A校必须从除去甲、乙的4人中录取1人共4种方法；B、C、D三个学校从剩余的5人中各录取1人，共A种方法，由分步计数原理不同的录取方法共4A＝240(种)．答案：2406．平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定______条直线；共可确定______个三角形．解析：C－C＋1＝36，C－C＝110.答案：361107．从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法数有________种．解析：可从50,51,52…，，100中任取两个共有C种取法；对于k，可从100,99，…，100－k＋1中任取一个(k＝1,2…，，49)有k种取法；由分类计数原理共有C＋1＋2…＋＋49＝2500种取法．答案：2500三、解答题8．用0,1,2,3,4五个数字组成无重复数字的四位数．(1)有多少个四位偶数？(2)若按从小到大排列，其中3204是第几个数？解答：(1)解法一：先按个位数字情况分两类，第二类中再分三步：①0在个位时有A种；②2、4在个位时按个位、千位、十位和百位的顺序排，有AAA种，故共有A＋AAA＝60个四位偶数．解法二：间接法，若无限制条件，总排列数为A，其中不符合条件的有两类：①0在千位，有A种；②1、3在个位，有AAA，则四位偶数有A－A－AA·A＝60(个)．(2)解法一：分类法．由高位到低位逐级分为①千位是1或2时，有AA个；②千位是3时，百位可排0、1或2.ⓐ当百位排0、1时，有AA个；ⓑ当百位排2时，比3204小的仅有3201一个，故比3204小的四位数共有A·A＋A·A＋1＝61(个),3204是第62个数．解法二：间接法．AA－(A＋A＋AA)＝62(个)．9．在m(m≥2)个不同数的排列p1p2…pm中，若1≤i＜j≤m时pi＞pj(即前面某数大于后面某数)，则称pi与pj构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n＋1)n(n－1)…321的逆序数为an.如排列21的逆序数a1＝1，排列321的逆序数a2＝3，排列4321的逆序数a3＝6.(1)求a4、a5，并写出an的表述式；(2)令bn＝＋，证明2n＜b1＋b2…＋＋bn≤2n＋3，n＝1,2…，.解答：(1)a4＝C＝10，a5＝C＝15，∴an＝C＝.(2)证明：bn＝＋＝＋＝2＋－，∴b1＋b2…＋＋bn＝2n＋2(－－)，因此2n＜b1＋b2…＋＋bn＜2n＋3.10．设M＝{1,2,3…，，n}，M的子集中含有4个元素的子集的个数记为k，如果k个集合的所有元素之和为A，求n的值．解答：集合M含有4个元素的子集中，其中含有1...
