10.6几何概型一、选择题1．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率是()A．1B.C.D.解析：将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x0∈[－1,2]时，f(x0)≤0.则所求概率P＝＝.答案：C2.(·福建福州)为了测算如右图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是()A．12B．9C．8D．6解析：正方形面积为36，阴影部分面积为×36＝9.答案：B3.如图所示，设M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连结MN，则弦MN的长超过§R的概率为()A.B.C.D.解析：在圆上过圆心O作与OM垂直的直径CD，则MD=MC=，当点N不在半圆弧上时，MN>，故所求的概率P(A)=.答案：D4．(·高考改编题)在区间[－1,1]上随机取一个数x，则sin的值介于－与之间的概率为()A.B.C.D.解析：在区间[－1,1]上随机取一个数x，要使sin≤≤的值介于－与之间，需使－，即≤－x≤1，其区间长度为，由几何概型公式知所求概率为＝，故选D.答案：D二、填空题5.(·安徽合肥模拟)某人随机地在如右图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．解析：设正三角形边长为a，则外接圆半径r＝a·＝a.∴概率P＝＝.答案：6.如右图所示，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率为.解析：射线落在直角坐标系内的任何一个位置都是等可能的，故射线OA落在∠xOT内的概率为P=.答案：7．(·广东调研)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果在该矩形内随机找一点P，那么使得△ABP与△CDP的面积都不小于1的概率为________．解析：取AD的三等分点E′、F′，取BC的三等分点E、F，连接EE′、FF′，如右图所示．因为AD＝3，所以可知BE＝EF＝FC＝AE′＝E′F′＝F′D＝1.又AB＝2，所以当点P落在虚线段EE′上时，△ABP的面积等于1，当点P落在虚线段FF′上时，△CDP的面积等于1，从而可知当点P落在矩形EE′F′F内(包括边界)时△ABP和△CDP的面积均不小于1，故可知所求的概率为P＝＝.答案：三、解答题8．某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐8路、23路，8路车10分钟一班，23路车15分钟一班，求这位同学等车不超过8分钟的概率．解答：“如图，记8分钟内乘坐8路车或23”路车为事件A，则A所占区域面积为8×10+7×8=136，整个区域的面积为10×15=150，由几何概型的概率公式，得P(A)=§≈0.91.即这位同学等车不超过8分钟的概率约为0.91.9．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．解答：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如右图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“”两人能够会面的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得：P(A)=.所以，两人能会面的概率是.10．(·宁夏中卫调研)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)设集合P＝{－1,1,2,3,4,5}和Q＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1∞，＋)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域内的随机点，求函数y＝f(x)在区间[1∞，＋)上是增函数的概率．解答：(1) 函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，要使函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1∞，＋)上为增函数，当且仅当a＞0≤且1，即2b≤a.若a＝1，则b＝－2，－1；若a＝2，则b＝－2，－1,1；若a＝3，则b＝－2，－1,1；若a＝4，则b＝－2，－1,1,2；若a＝5，则b＝－2，－1,1,2；∴所求事件包含基本事件的个数是2＋3＋3＋4＋4＝16.∴所求事件的概率为＝.(2)由(1)知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1，+∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为如图阴影部分．由得交点坐标为，∴所求事件的概率为P=.1．(·创新题)在集合{(x，y)|0≤x≤5,0≤y≤4}内任取一个元素，能使不等式＋－1≤0成立的概率为()A.B.C....
