【创新设计】-学年高中数学7.3.3.1直线与圆的位置关系活页训练湘教版必修31．若直线x＋y＝4与圆x2＋y2＝r2(r>0)相切，则实数r的值等于()．A.B．1C.D．2解析由题意知圆心到直线的距离等于半径，得＝r.∴r＝2，选D.答案D2．由点P(1,3)引圆x2＋y2＝9的切线的长是()．A．2B.C．1D．4解析点P到原点O的距离为|PO|＝，∵r＝3，∴切线长为＝1.故选C.答案C3．若过点A(4,0)的直线l与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()．A．[－，]B．(－，)C．[－，]D．(－，)解析设直线为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，圆心(2,0)到直线的距离d＝＝，d应满足d≤r，即≤1，解得k∈[－，]．答案C4．圆心为(1,1)且与直线x－y＝4相切的圆的方程是________．解析设圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝r2，则＝r，∴r2＝8，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8.答案(x－1)2＋(y－1)2＝85．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．解析圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－2)2＝1，又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，由此得直线过圆心(1,2)，故所求直线方程为2x－y＝0.答案2x－y＝06．求经过点P(6，－4)，且被定圆x2＋y2＝20截得弦长为6的直线的方程．解如图所示，|AB|＝6，|OA|＝2，作OC⊥AB于C.在Rt△OAC中，|OC|＝＝.设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y＋4＝k(x－6)，即kx－y－6k－4＝0.又圆心到直线的距离为，∴＝，即17k2＋24k＋7＝0，∴k1＝－1，k2＝－.∴所求直线方程为x＋y－2＝0或7x＋17y＋26＝0.7．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有()．A．1个B．2个C．3个D．4个解析∵x2＋y2＋2x＋4y－3＝0，∴(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到x＋y＋1＝0的距离为d＝＝＝，∴有三个点．故选C.答案C8．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为()．A.，－B．4，－C.，－1D．1，－1解析圆心到直线的距离d＝，在△POQ中，∠PQO＝30°，所以sin∠PQO＝＝＝，所以k＝±.答案A9．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．解析过原点且倾斜角为60°的直线方程为x－y＝0，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心(0,2)到直线的距离为d＝＝1，因此弦长为2＝2＝2.答案210．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．解析由题意可直接求出切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为××5＝.答案11．求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程．解法一设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为，∴r2＝()2＋()2，即2r2＝(a－b)2＋14，①由于所求的圆与x轴相切，∴r2＝b2.②又因为所求圆的圆心在直线3x－y＝0上，∴3a－b＝0，③联立①，②，③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9.故所求的圆的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.法二设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为(－，－)，半径为.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.由圆与x轴相切，得Δ＝0，即D2＝4F④又圆心(－，－)到直线y＝x的距离为，由已知，得()2＋()2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)⑤又圆心(－，－)在直线3x－y＝0上，∴3D－E＝0⑥联立④，⑤，⑥，解得D＝－2，E＝－6，F＝1或D＝2，E＝6，F＝1.故所求圆的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0或x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0.12．(创新拓展)自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在的直线方程．解由已知可得圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴对称的圆C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C′(2，－2)，则l与圆C′相切．设l：y－3＝k(x＋3)，∴＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－，所以所求直线方程为y－3＝－(x＋3)或y－3＝－(x＋3)，即3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
