整数规划(IntegerProgramming)王广民中国地质大学经济管理学院wgm97@163.com1、概述整数规划（IntegerProgramming，简记IP)主要是指整数线性规划,是近二、三十年来发展起来的数学规划当中的一个重要分支，讨论整数规划对研究管理问题有重要意义，比如项目投资问题、人员分配问题等都可以化为一个整数规划问题（因为如人员分配等的一些问题显然不可能出现小数或者分数的情况）,可分为：纯整数规划（所有变量都限制为整数）混合整数规划（一部分变量限制为整数）0-1规划（所有变量的取值都限制为0或1）一、整数规划问题及其数学模型所谓整数规划是指具有下列模型的线性规划问题是整数XXbAXtsCXzIP0..max)(其中A矩阵、b、c向量中所有的元素数都是整数或有理数.(1)、模型阐述2、整数规划问题的模型其实，如果不考虑（IP）问题中“X是整数”的条件，则整数规划问题仍可看成一个一般的线性规划（LP）问题：0maxXbAXCXz称为该整数规划问题的松弛问题(slackProblem).(2)、整数规划的例子例投资问题设某公司在m个时段里有n项投资计划，由于资金限制不能全部进行。已知1、第i个时段里该公司可动用的资金是bi，2、第j项投资计划所需要的资金是aij,能够得到的利润是cij。问该公司如何选择投资计划，使m个时段内的总利润最大.解：设xij表示在第i个时段内对第j个投资计划的决策变量1execute0notexecuteijx即当xij=1时，表示第i个时段内选中并执行第j个投资计划，当xij=0时，表示第i时段内未选中第j个投资计划.因此,可以建立该投资问题的数学模型为：11max1,2,,..0,1mnijijijnijijijiijzcxaxbimstx例工作分配问题设某单位现有n个人员A1,A2……An来完成n项工作B1,B2,…Bn。按工作要求，每个人员需干一项工作，每项工作也需一人去完成。已知人员Ai做工作Bj的效率是cij。问应如何分配，才使总效率最好.解：令xij表示对人员Ai完成工作Bj的决策变量即xij=1表示分配Ai干工作Bj，xij=0表示不分配Ai干工作Bj。按问题要求，建立该问题的数学模型为：10ijx11maxmnijijijzcx11110,1nijjmijiijxxx线性规划（LP）的任一整数可行解都是整数规划（IP）的一个可行解，显然（IP）的所有解（包括可行解）对应于（LP）的整数可行解。当（LP）的最优解不是一个整数解时，一般情况下不可以通过对非整数解进行“四舍五入”、“凑整法”得出（IP）问题的最优解。整数线性规划及其松弛问题，从解的特点上来说，二者之间既有密切的联系，又有本质的区别.进一步地，如果（LP）的最优解是一个整数解，那么，这个解也一定是（IP）问题的最优解。一般情况下，（LP）的最优解不会恰好是一个整数解，自然就不是（IP）的最优解，（IP）的最优值不会优于（LP）的最优值.3、关于整数规划的解例如：求下列整数规划的最优解是整数2121212121,0,5.45.0143223xmaxzxxxxxxxxx解：在先不考虑“x1,x2是整数”的条件下，对相应的线性规划问题易由图解法得出最优解是：X=（3.25,2.5）通过凑整法，可以得出4种组合(4,3),(4,2),(3,3),(3,2)。(4,3),(4,2),(3,3)都不是可行解，(3,2)虽是可行解，但不是最优解满足问题的整数最优解是(4,1)，最优值是14。而最优解(4,1)并不是相应线性规划的可行域的顶点。结论：直接利用图解法（或者甚至利用单纯形法）无法直接找出整数规划的最优解。1、求解思路割平面法是求解整数规划的最早提出的一个方法。基本思想是：首先利用单纯形法（或者其它方法）求解整数规划的松弛线性规划；经过判断，如果达不到变量的整数条件，则针对某一个非整变量增加特定割平面，把LP问题中对该变量的非整数部分给去除掉，保留了全部有整数解的部分，同时经过切割后的可行域其凸性质不改变。逐次反复上面的过程，只要整数规划问题有最优整数解，则必定可以在经过若干次的切割后的凸可行域的顶点中找到最优解。二、Gomory割平面法割平面法在1958年由高莫瑞(R.E.Gomory)首先提出，故又称Gomory割平面法。在割平面法中．每次增加的用于“切割”的线性约束称为割平面...
