选修4－1几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识一、填空题1．已知△ABC与△A1B1C1相似，且AB∶A1B1＝1∶2，△ABC的面积为12cm2，则△A1B1C1的面积为______(cm2)．解析：∵△ABC∽△A1B1C1，∴＝2，即＝2，解得S△A1B1C1＝48(cm2)．答案：482．如图，已知DE∥BC，且BF∶EF＝4∶3，则AC∶AE＝________.解析：∵DE∥BC，∴＝，同理，∵DE∥BC，∴＝，∴＝＝＝.答案：3．如图，在△ABC中，M是AC边中点．E是AB上一点，且AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝________.解析：如图，过C点作CF∥DE交AB于F点，∵CF∥DE，AM＝MC，∴AE＝EF＝AB，∴AF＝AB，∴＝，∵CF∥DE，∴＝＝.答案：4.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，DE为Rt△CDB斜边BC上的高，若BE＝6，CE＝4，则AD的长为________．解析：∵CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，∠BCA＝90°，∴由射影定理得DE2＝CE·BE，∴DE2＝4×6＝24，由勾股定理，得BD＝＝＝2.由DE∥AC得＝，即＝，解得AD＝.答案：5．如图，点E、F分别在AD、BC上，已知CD＝2，EF＝3，AB＝5，若EF∥CD∥AB，则＝________.解析：如图，过C作CH∥DA交EF于G，交AB于H，则EG＝AH＝DC＝2，GF＝1，BH＝3，∵GF∥HB，∴＝＝.∴＝.答案：6．如图所示，已知梯形ABCD中，上底长为2，下底长为6，高为4，对角线AC和BD相交于点P，(1)若AP长为4，则PC＝________；(2)△ABP和△CDP的高的比为________．解析：(1)∵AB∥CD，∴△APB∽△CPD，∴＝，即＝，解得PC＝12.(2)由(1)得△ABP和△CDP的高的比等于它们的相似比，从而这两个三角形的高的比为1∶3.答案：121∶37．在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP，△APD，△CDP两两相似，则a，b间的关系一定满足________．解析：结合图形易知，要使△ABP，△APD，△CDP两两相似，必须满足＝.即＝，BP·CP＝b2.设BP＝x，则CP＝a－x，所以(a－x)x＝b2，即x2－ax＋b2＝0.要使BC边上至少存在一点P，必须满足Δ＝(－a)2－4b2≥0，所以a≥2b.答案：a≥2b二、解答题8．△ABC中，点D内分BC为1∶3，点E内分AD为1∶2，BE的延长线交AC于F，求：.解：过D作DG∥AC交BF于G，则＝＝，＝＝.∴＝·＝×＝.9.(江苏省高考命题研究专家原创卷)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E.求证：DE·DC＝AE·BD.证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB＝DC，∴∠ABC＝∠DCB，又∵BC＝CB，∴△ABC≌△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC，∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB，∴△ADE∽△CBD，∴DE∶BD＝AE∶CD，故DE·DC＝AE·BD.10．如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，AB>AC，点O是外心．两条高BE、CF交于H点，点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM＝CN，求.解：如图在BE上取BK＝CH，连接OB、OC、OK，由三角形的外心的性质可知：∠BOC＝2∠A＝120°，由三角形的垂心性质可知：∠BHC＝180°－∠A＝120°，所以∠BOC＝∠BHC，所以B、C、H、O四点共圆，∠OBH＝∠OCH，又因为OB＝OC，BK＝CH，所以△BOK≌△COH，所以∠BOK＝∠COH，OK＝OH，所以∠KOH＝∠BOC＝120°，∠OKH＝∠OHK＝30°，观察△OKH，有：＝，则KH＝OH，又因为BM＝CN，BK＝CH，所以KM＝NH，所以MH＋NH＝MH＋KM＝KH＝OH，故＝.如图所示，已知AD、BE分别是△ABC中BC边和AC边上的高，H是AD、BE的交点．求证：(1)AD·BC＝BE·AC；(2)AH·HD＝BH·HE.证明：(1)在Rt△ADC和Rt△BEC中，∵∠ACD＝∠BCE，∴Rt△ADC∽Rt△BEC.∴＝，即AD·BC＝BE·AC.(2)在Rt△AHE和Rt△BHD中，∵∠AHE＝∠BHD，∴Rt△AHE∽Rt△BHD.∴＝，即AH·HD＝BH·HE.
