9.3等比数列(四)双基达标(限时20分钟)1．已知等比数列的前n项和为Sn，且S3＝2，S6－S3＝4，则S9－S6＝()．A．8B．4C．2D．1解析由题知(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，所以S9－S6＝8.答案A2．{an}为等比数列，若＝2，S4＝4，则S8的值等于()．A．12B．24C．16D．32解析q4＝2，S8＝S4＋q4S4＝S4＋2S4＝3S4＝12.答案A3．设数列满足logaxn＋1＝1＋logaxn(a>0且a≠1，n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x100＝100，则x101＋x102＋…＋x200的值为()．A．100aB．101a2C．101a100D．100a100解析logaxn＋1＝1＋logaxn(a>0且a≠1，n∈N*)，则成等比数列，公比为a，∴x1＋x2＋…＋x100＝＝100.那么x101＋x102＋…＋x200＝x1a100＋x2a100＋…＋x100a100＝a100(x1＋x2＋…＋x100)＝100a100.答案D4．已知等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为________．解析由题意S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48，12，3，即S21－S14＝3，∴S21＝63.答案635．一个首项与公比相等的各项均为正数的等比数列，其各项取常用对数后所得数列的前n项和为n(n＋1)，则这个数列的首项等于________．解析利用Sn表达式求然后求出a1.答案1006．求数列1，1＋a，1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn(其中a≠0)．解当a＝1时，则an＝n，于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.当a≠1时，an＝＝(1－an)．∴Sn＝＝＝－.∴Sn＝综合提高限时25分钟7．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q＝()．A．2B.C．4D.解析由得a4－a3＝3(S3－S2)．a4＝4a3∴q＝4.答案C8．已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为()．A．S1B．S2C．S3D．S4解析S1＝a1＝8正确，由S2＝a1＋a2＝20得a2＝12，∴公比q＝，由S3＝S2＋a3＝36得a3＝16，∴公比q＝.由此可知S2、S3必有一个是错的．由S4＝＝65检验知q＝，∴S3是错误的．答案C9．下列命题中正确命题为________．①常数列一定是等比数列；②等比数列前n项和Sn＝(其中a1为首项，q为公比)；③前n项和Sn为n的二次函数的数列一定是等差数列；④0不可能是任何等比数列的一项．解析对①举反例：an＝0；②q≠1；③为等差数列，要求让Sn无常数项．答案④10．设等比数列的前n项和为Sn，若＝3，则＝______．解析为等比数列，则S3，S6－S3，S9－S6，…，成等比数列．令S3＝k.∵＝3，S6＝3k，S6－S3＝2k，S9－S6＝4k，∴S9＝7k，＝.答案11．在等比数列{an}中，已知a1＋a4＝27，S6＝189，求q和a5.解由a1＋a4＝27得a1＋a1q3＝27.不难知q≠1.由S6＝189得189＝＝＝27(1＋q＋q2)，∴q2＋q－6＝0，即q＝－3或q＝2.当q＝－3时，a1＋a1q3＝27，∴a1＝－.于是a5＝a1q4＝－×(－3)4＝－.当q＝2时，a1＋a1q3＝27，∴a1＝3，于是a5＝a1q4＝3×16＝48.12．(创新拓展)如果一个数列的各项均为实数，且从第2项起，每一项与它的前一项的平方差都等于同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．问：是否存在一个非常数列的等比数列，同时也是等方差数列？若存在，求出这个数列；若不存在，说明理由．解设存在一个非常数列的等比数列，同时也是等方差数列，则an＝a1qn－1，其中a1，q分别是的首项与公比，则a＝aq2n－2要使是等方差数列，需a－a＝k(k是与n无关的常数，n≥2)，即aq2n－2－aq2n－4＝aq2n－4(q2－1)＝k.由等方差数列的定义知q2－1＝0，即q＝1或q＝－1.当q＝1时，数列是常数列，不满足题意；当q＝－1时，满足题意．所以，存在一个非常数列的等比数列，同时也是等方差数列，该数列的公比等于－1，首项为非0的实数
